Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 916 Макарычев — Подробные Ответы
(Задача-исследование.) Верно ли утверждение: если \(p\) — простое число, большее трёх, то значение выражения \(p^{2} — 1\) кратно 12?
1) Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах.
2) Разложите многочлен \(p^{2} — 1\) на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4.
3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 3.
4) Сделайте вывод.
1) Пусть \( p = 11 \), тогда:
\(\frac{p^2 — 1}{12} = \frac{11^2 — 1}{12} = \frac{121 — 1}{12} = \frac{120}{12} = 10\) — верно.
Пусть \( p = 7 \), тогда:
\(\frac{p^2 — 1}{12} = \frac{7^2 — 1}{12} = \frac{49 — 1}{12} = \frac{48}{12} = 4\) — верно.
2) \( p^2 — 1 = (p — 1)(p + 1) \). Так как \( p \) больше 3, то \( p \) — нечетное число, тогда выражение будет четным. Так как \( (p — 1) \) и \( (p + 1) \) кратны 2, то их произведение кратно 4.
3) Так как \( p \) — простое число больше 3, значит оно не делится на 3, следовательно, на 3 будет делиться либо \( (p — 1) \), либо \( (p + 1) \).
4) Так как выражение делится и на 4, и на 3, то оно делится и на 12.
1) Пусть \( p = 11 \). Подставляя это значение в выражение \(\frac{p^2 — 1}{12}\), сначала вычисляем \( p^2 \), то есть \( 11^2 = 121 \). Далее вычитаем 1, получаем \( 121 — 1 = 120 \). Теперь делим 120 на 12, что даёт ровно 10. Это целое число, значит выражение делится на 12 без остатка, что подтверждает правильность утверждения. Такой расчёт показывает, что для простого числа 11 формула работает верно.
Рассмотрим другой пример с \( p = 7 \). Аналогично вычисляем \( p^2 = 7^2 = 49 \), затем вычитаем 1, получаем 48. Делим 48 на 12, результат равен 4, что также целое число. Это ещё одно подтверждение, что выражение \(\frac{p^2 — 1}{12}\) при простом числе \( p \) даёт целое значение. Таким образом, на конкретных числах проверена корректность формулы.
2) Рассмотрим выражение \( p^2 — 1 \) в виде произведения двух множителей: \( (p — 1)(p + 1) \). Так как \( p \) — простое число больше 3, оно обязательно нечётное (потому что 2 — единственное чётное простое). Следовательно, и \( p — 1 \), и \( p + 1 \) — чётные числа, так как они на единицу меньше и больше нечётного числа. Произведение двух чётных чисел всегда делится на 4, потому что каждый из множителей содержит множитель 2.
Из этого следует, что \( p^2 — 1 \) делится на 4. Это важный шаг, так как показывает, что часть делимости по модулю 12 уже обеспечена. Поскольку 12 = 4 × 3, осталось проверить делимость на 3, чтобы доказать полную делимость на 12.
3) Число \( p \) — простое и больше 3, значит оно не делится на 3. Рассмотрим три последовательных числа: \( p — 1 \), \( p \), \( p + 1 \). Среди любых трёх последовательных чисел обязательно есть число, делящееся на 3. Поскольку \( p \) не делится на 3, то либо \( p — 1 \), либо \( p + 1 \) делится на 3.
Таким образом, произведение \( (p — 1)(p + 1) \) делится на 3. Вместе с тем, мы уже знаем, что оно делится на 4. Значит, произведение делится и на 12, так как 12 — это наименьшее общее кратное 3 и 4. Следовательно, выражение \(\frac{p^2 — 1}{12}\) всегда будет целым числом для простых \( p > 3 \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!