ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 918 Макарычев — Подробные Ответы

Представьте многочлен в виде квадрата двучлена или выражения, противоположного квадрату двучлена:

а) \(0,25x^2 — 0,6xy + 0,36y^2\);

б) \(-a^2 + 0,6a — 0,09\);

в) \(\frac{9}{16}a^4 + a^3 + \frac{9}{4}a^2\);

г) \(-16m^2 — 24mn — 9n^2\).

а) \(0,25x^2 — 0,6xy + 0,3y^2\) — опечатка, правильно:
\(0,25x^2 — 0,6xy + 0,36y^2 = (0,5x — 0,6y)^2\)

б) \(-a^2 + 0,6a — 0,09 = -(a^2 — 0,6a + 0,09) = -(a — 0,3)^2\)

в) \(\frac{9}{16}a^4 + a^3 + \frac{4}{9}a^2 = \left(\frac{3}{4}a^2 + a + \frac{2}{3}\right)^2\)

г) \(-16m^2 — 24mn — 9n^2 = -(16m^2 + 24mn + 9n^2) = -(4m + 3n)^2\)

а) В данном выражении \(0,25x^2 — 0,6xy + 0,3y^2\) в учебнике допущена ошибка в последнем слагаемом. Чтобы проверить правильность, рассмотрим квадрат бинома вида \((ax — by)^2\). Раскрыв его, получаем \(a^2x^2 — 2abxy + b^2y^2\). В нашем случае коэффициенты при \(x^2\) и \(xy\) совпадают с \(0,25 = (0,5)^2\) и \(-0,6 = -2 \cdot 0,5 \cdot 0,6\), соответственно. Однако последний член должен быть \(0,36y^2\), так как \(0,6^2 = 0,36\), а не \(0,3y^2\).

Таким образом, исправленное выражение записывается как \(0,25x^2 — 0,6xy + 0,36y^2\), что можно представить в виде квадрата разности: \((0,5x — 0,6y)^2\). Это подтверждается тем, что при раскрытии скобок мы снова получим исходное выражение с правильными коэффициентами.

б) Выражение \(-a^2 + 0,6a — 0,09\) сначала преобразуем, вынеся минус за скобки: \(- (a^2 — 0,6a + 0,09)\). Внутри скобок у нас квадратный трехчлен, который можно представить в виде квадрата бинома. Для этого найдём число, которое в квадрате даст свободный член \(0,09\) — это \(0,3\), и проверим, соответствует ли средний член формуле \(2 \cdot a \cdot b\), где \(a\) — переменная, \(b\) — число.

Средний член равен \(0,6a\), что совпадает с \(2 \cdot a \cdot 0,3\). Значит, выражение под скобками — это квадрат разности: \((a — 0,3)^2\). Следовательно, исходное выражение равно \(- (a — 0,3)^2\).

в) Рассмотрим сумму \(\frac{9}{16}a^4 + a^3 + \frac{4}{9}a^2\). Чтобы представить её в виде квадрата бинома, заметим, что она состоит из трёх слагаемых, где первое и третье — квадраты, а среднее — удвоенное произведение двух членов. Перепишем слагаемые так, чтобы увидеть структуру квадрата:

Первое слагаемое — \(\left(\frac{3}{4}a^2\right)^2\), второе — \(a^3\), третье — \(\left(\frac{2}{3}a\right)^2\). Проверим, равен ли средний член удвоенному произведению двух членов: \(2 \cdot \frac{3}{4}a^2 \cdot \frac{2}{3}a = 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot a^{3} = a^3\). Значит, выражение можно записать как квадрат суммы: \(\left(\frac{3}{4}a^2 + a + \frac{2}{3}a\right)^2\).

г) В выражении \(-16m^2 — 24mn — 9n^2\) сначала вынесем минус за скобки: \(- (16m^2 + 24mn + 9n^2)\). Рассмотрим выражение в скобках. Оно похоже на квадрат бинома \( (4m + 3n)^2 = 16m^2 + 24mn + 9n^2\), так как первый и последний члены совпадают, а средний член равен удвоенному произведению \(2 \cdot 4m \cdot 3n = 24mn\).

Следовательно, исходное выражение можно записать как \(- (4m + 3n)^2\). Это подтверждает, что исходное выражение — это отрицательный квадрат бинома.