ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 921 Макарычев — Подробные Ответы

Разложите на множители многочлен:

а) \(x^3 + y^3\);

в) \(8 + a^3\);

д) \(t^3 + 1\);

б) \(m^3 — n^3\);

г) \(27 — y^3\);

е) \(1 — c^3\).

а) \(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\)

б) \(m^3 — n^3 = (m — n)(m^2 + mn + n^2)\)

в) \(8 + a^3 = 2^3 + a^3 = (2 + a)(4 — 2a + a^2)\)

г) \(27 — y^3 = 3^3 — y^3 = (3 — y)(9 + 3y + y^2)\)

д) \(t^3 + 1 = (t + 1)(t^2 — t + 1)\)

е) \(1 — c^3 = (1 — c)(1 + c + c^2)\)

а) Формула \(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\) представляет собой разложение суммы кубов на множители. Для того чтобы понять, почему она работает, нужно вспомнить, что при умножении двух многочленов мы раскрываем скобки и складываем подобные члены. Здесь первый множитель — это просто сумма \(x + y\), а второй — квадрат первого с поправкой на произведение \(xy\). При раскрытии скобок получаем \(x^3 + y^3\) без промежуточных членов, потому что отрицательные и положительные члены, содержащие \(xy\), взаимно уничтожаются.

Такое разложение полезно, когда нужно упростить выражение или решить уравнение, содержащее сумму кубов. Оно позволяет выделить общий множитель и перейти к более простому виду. Формула является классическим примером факторизации, которая часто встречается в алгебре и помогает анализировать свойства многочленов.

б) Формула \(m^3 — n^3 = (m — n)(m^2 + mn + n^2)\) аналогична предыдущей, но относится к разности кубов. Здесь первый множитель — разность \(m — n\), а второй — квадрат первого с добавлением произведения \(mn\). При раскрытии скобок мы получим \(m^3 — n^3\), так как все промежуточные члены слагаются и сокращаются, оставляя только кубы с разными знаками.

Это разложение важно для упрощения выражений и решения уравнений, где фигурируют разности кубов. Оно позволяет представить сложное выражение в виде произведения двух многочленов, что облегчает вычисления и анализ. Формула часто используется в теории чисел и алгебре для факторизации и нахождения корней.

в) В выражении \(8 + a^3 = 2^3 + a^3 = (2 + a)(4 — 2a + a^2)\) используется та же формула для суммы кубов, только конкретные числа подставлены вместо переменных. Число 8 представлено как \(2^3\), что позволяет применить стандартную формулу. Первый множитель — сумма \(2 + a\), второй — квадрат первого с поправками, которые обеспечивают правильное раскрытие.

Это разложение облегчает работу с конкретными значениями, позволяя заменить сумму кубов на произведение. Такой подход полезен при вычислениях и упрощении выражений, особенно если требуется найти делители или упростить дробь. Использование конкретных чисел делает формулу более наглядной и удобной.

г) Аналогично предыдущему, \(27 — y^3 = 3^3 — y^3 = (3 — y)(9 + 3y + y^2)\) — это разложение разности кубов, где 27 представлено как \(3^3\). Первый множитель — разность \(3 — y\), второй — квадрат первого с добавлением произведений, которые обеспечивают корректное раскрытие скобок. При умножении получается исходное выражение без лишних членов.

Это разложение позволяет упростить выражение и найти корни уравнений, где встречается разность кубов. Оно часто используется в алгебре для факторизации и анализа многочленов. Применение конкретных чисел делает формулу более понятной и практичной.

д) Формула \(t^3 + 1 = (t + 1)(t^2 — t + 1)\) — частный случай суммы кубов, где второй член равен 1, то есть \(1^3\). Первый множитель — сумма \(t + 1\), второй — квадрат первого с отрицательным линейным членом, что обеспечивает точное раскрытие. При перемножении скобок получается исходное выражение без лишних слагаемых.

Такое разложение часто применяется в задачах с конкретными значениями и упрощает вычисления. Оно показывает, как можно представить сумму кубов с единицей в виде произведения двух многочленов, что облегчает анализ и решение уравнений.

е) Выражение \(1 — c^3 = (1 — c)(1 + c + c^2)\) — классическое разложение разности кубов, где первый член равен 1, то есть \(1^3\). Первый множитель — разность \(1 — c\), второй — квадрат первого с добавлением линейного члена, что обеспечивает корректное раскрытие. При умножении получается исходное выражение без лишних членов.

Это разложение полезно для упрощения выражений и решения уравнений с разностью кубов, особенно когда один из членов равен 1. Оно позволяет представить сложное выражение в виде произведения, что облегчает дальнейшие операции и анализ.