ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 922 Макарычев — Подробные Ответы

Примените формулу суммы кубов или формулу разности кубов:

а) \(c^3 — d^3\);

в) \(x^3 — 64\);

д) \(y^3 — 1\);

б) \(p^3 + q^3\);

г) \(125 + a^3\);

е) \(1 + b^3\).

a) \( c^3 — d^3 = (c — d)(c^2 + cd + d^2) \)

б) \( p^3 + q^3 = (p + q)(p^2 — pq + q^2) \)

в) \( x^3 — 64 = x^3 — 4^3 = (x — 4)(x^2 + 4x + 16) \)

г) \( 125 + a^3 = 5^3 + a^3 = (5 + a)(25 — 5a + a^2) \)

д) \( y^3 — 1 = (y — 1)(y^2 + y + 1) \)

е) \( 1 + b^3 = (1 + b)(1 — b + b^2) \)

а) Разложение разности кубов \(c^3 — d^3\) на множители основывается на формуле, которая говорит, что разность кубов равна произведению разности оснований на выражение, содержащее квадраты и произведение этих оснований. Здесь мы выделяем общий множитель в виде \((c — d)\), а оставшаяся часть — это сумма квадратов и произведения: \(c^2 + cd + d^2\). Это выражение нельзя упростить дальше, так как оно не раскладывается на более простые множители над полем действительных чисел.

Данная формула полезна для упрощения выражений и решения уравнений, где встречаются кубы. Она позволяет заменить сложное выражение на произведение двух множителей, что облегчает вычисления и анализ. Важно помнить, что именно разность кубов раскладывается по этой формуле, а сумма кубов имеет другую структуру.

б) Сумма кубов \(p^3 + q^3\) раскладывается по формуле, похожей на разность кубов, но с изменёнными знаками. Здесь множителем выступает сумма оснований \((p + q)\), а вторым множителем является выражение \(p^2 — pq + q^2\). Обратите внимание, что во втором множителе знак перед средним членом отрицательный, что отличает эту формулу от формулы для разности кубов.

Такое разложение полезно, когда нужно упростить или вычислить выражения, содержащие сумму кубов. Оно помогает свести задачу к работе с произведением, что часто проще. Формула также используется при решении уравнений и факторизации многочленов.

в) Разность кубов \(x^3 — 64\) можно переписать, заметив, что \(64 = 4^3\). Следовательно, это частный случай разности кубов \(x^3 — 4^3\). По формуле разности кубов раскладываем на множители: \((x — 4)\) и \((x^2 + 4x + 16)\). Первый множитель — разность оснований, второй — сумма квадратов первого и второго с добавлением произведения.

Это разложение позволяет упростить выражение и найти корни уравнения, если оно равно нулю. Например, при решении уравнения \(x^3 — 64 = 0\) корнями будут те значения, при которых либо \(x — 4 = 0\), либо \(x^2 + 4x + 16 = 0\). Первый корень — \(x = 4\), второй множитель можно проанализировать для нахождения комплексных корней.

г) Сумма кубов \(125 + a^3\) можно представить как сумму кубов \(5^3 + a^3\). Для суммы кубов используется формула, где множителями являются сумма оснований \((5 + a)\) и выражение \(25 — 5a + a^2\). Здесь \(25\) — квадрат первого основания \(5^2\), а \(a^2\) — квадрат второго основания, а средний член имеет знак минус.

Такое разложение позволяет упростить выражение и использовать его для решения уравнений или упрощения алгебраических выражений. Формула суммы кубов часто применяется в алгебре и аналитической геометрии для разложения сложных многочленов.

д) Разность кубов \(y^3 — 1\) можно представить как \(y^3 — 1^3\). Используя формулу для разности кубов, раскладываем на множители: \((y — 1)\) и \((y^2 + y + 1)\). Второй множитель представляет собой сумму квадратов и произведений, где все знаки положительные.

Это разложение полезно при факторизации многочленов и решении уравнений. Например, уравнение \(y^3 — 1 = 0\) можно решить, приравняв каждый множитель к нулю, что даёт корень \(y = 1\) и комплексные корни, связанные с квадратным выражением.

е) Сумма кубов \(1 + b^3\) записывается как \(1^3 + b^3\). Формула суммы кубов даёт разложение на множители: \((1 + b)\) и \((1 — b + b^2)\). Здесь второй множитель отличается знаком среднего члена, который отрицательный, что характерно для суммы кубов.

Такое разложение помогает упростить выражения и решать уравнения, где встречаются суммы кубов. Оно позволяет перейти от сложного кубического выражения к произведению многочленов меньшей степени, что облегчает дальнейшие вычисления и анализ.