ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 923 Макарычев — Подробные Ответы

Представьте выражение в виде суммы или разности кубов и разложите его на множители:

а) \(8x^3 — 1\);

в) \(8 — \frac{1}{8} a^3\);

д) \(125a^3 — 64b^3\);

б) \(1 + 27y^3\);

г) \(\frac{1}{64} m^3 + 1000\);

е) \(\frac{1}{27} x^3 + \frac{1}{125} y^3\).

а) \(8x^3 — 1 = (2x)^3 — 1^3 = (2x — 1)(4x^2 + 2x + 1)\)

б) \(1 + 27y^3 = 1^3 + (3y)^3 = (1 + 3y)(1 — 3y + 9y^2)\)

в) \(8 — \frac{1}{8}a^3 = 2^3 — \left(\frac{1}{2}a\right)^3 = \left(2 — \frac{1}{2}a\right)\left(4 + a + \frac{1}{4}a^2\right)\)

г) \(\frac{1}{64}m^3 + 1000 = \left(\frac{1}{4}m\right)^3 + 10^3 = \left(\frac{1}{4}m + 10\right)\left(\frac{1}{16}m^2 — \frac{5}{2}m + 100\right)\)

д) \(125a^3 — 64b^3 = (5a)^3 — (4b)^3 = (5a — 4b)(25a^2 + 20ab + 16b^2)\)

е) \(\frac{1}{27}x^3 + \frac{1}{125}y^3 = \left(\frac{1}{3}x\right)^3 + \left(\frac{1}{5}y\right)^3 = \left(\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y\right)\left(\frac{1}{9}x^2 — \frac{1}{15}xy + \frac{1}{25}y^2\right)\)

а) В данном выражении \(8x^3 — 1\) мы видим разность кубов, так как \(8x^3 = (2x)^3\), а \(1 = 1^3\). Формула для разности кубов гласит, что \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\). Здесь \(a = 2x\), \(b = 1\), поэтому раскладываем: \(8x^3 — 1 = (2x — 1)((2x)^2 + 2x \cdot 1 + 1^2) = (2x — 1)(4x^2 + 2x + 1)\). Таким образом, мы представили исходное выражение в виде произведения двух множителей, что упрощает дальнейшие вычисления или факторизацию.

б) В выражении \(1 + 27y^3\) мы имеем сумму кубов, так как \(1 = 1^3\), \(27y^3 = (3y)^3\). Формула суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\). Подставляя \(a = 1\), \(b = 3y\), получаем: \(1 + 27y^3 = (1 + 3y)(1^2 — 1 \cdot 3y + (3y)^2) = (1 + 3y)(1 — 3y + 9y^2)\). Это разложение позволяет упростить выражение и использовать его в дальнейших преобразованиях.

в) Рассмотрим выражение \(8 — \frac{1}{8}a^3\). Заметим, что \(8 = 2^3\), а \(\frac{1}{8}a^3 = \left(\frac{1}{2}a\right)^3\). Здесь снова используется формула разности кубов \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\). Подставляем \(a = 2\), \(b = \frac{1}{2}a\), получаем: \(8 — \frac{1}{8}a^3 = 2^3 — \left(\frac{1}{2}a\right)^3 = \left(2 — \frac{1}{2}a\right)\left(2^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}a + \left(\frac{1}{2}a\right)^2\right) =\) \(= \left(2 — \frac{1}{2}a\right)(4 + a + \frac{1}{4}a^2)\). Это разложение полезно для упрощения и дальнейшей работы с выражением.

г) В выражении \(\frac{1}{64}m^3 + 1000\) мы видим сумму кубов, так как \(\frac{1}{64}m^3 = \left(\frac{1}{4}m\right)^3\), а \(1000 = 10^3\). Применяем формулу суммы кубов \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\) с \(a = \frac{1}{4}m\), \(b = 10\). Получаем: \(\frac{1}{64}m^3 + 1000 = \left(\frac{1}{4}m + 10\right)\left(\left(\frac{1}{4}m\right)^2 — \frac{1}{4}m \cdot 10 + 10^2\right) =\) \(= \left(\frac{1}{4}m + 10\right)\left(\frac{1}{16}m^2 — \frac{5}{2}m + 100\right)\). Это разложение позволяет упростить исходное выражение.

д) Рассмотрим разность кубов \(125a^3 — 64b^3\). Здесь \(125a^3 = (5a)^3\), \(64b^3 = (4b)^3\). Используем формулу разности кубов \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\) с \(a = 5a\), \(b = 4b\). Получаем: \(125a^3 — 64b^3 = (5a — 4b)((5a)^2 + 5a \cdot 4b + (4b)^2) =\) \(= (5a — 4b)(25a^2 + 20ab + 16b^2)\). Это разложение особенно полезно при работе с многочленами и факторизацией.

е) В выражении \(\frac{1}{27}x^3 + \frac{1}{125}y^3\) видна сумма кубов, так как \(\frac{1}{27}x^3 = \left(\frac{1}{3}x\right)^3\), а \(\frac{1}{125}y^3 = \left(\frac{1}{5}y\right)^3\). Применяем формулу суммы кубов \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\) с \(a = \frac{1}{3}x\), \(b = \frac{1}{5}y\). Получаем: \(\frac{1}{27}x^3 + \frac{1}{125}y^3 = \left(\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y\right)\left(\left(\frac{1}{3}x\right)^2 — \frac{1}{3}x \cdot \frac{1}{5}y + \left(\frac{1}{5}y\right)^2\right) =\) \(= \left(\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y\right)\left(\frac{1}{9}x^2 — \frac{1}{15}xy + \frac{1}{25}y^2\right)\). Такое разложение упрощает работу с выражением и позволяет применять его в дальнейших вычислениях.