Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 924 Макарычев — Подробные Ответы
Разложите на множители:
а) \(8 — m^3\);
в) \(64x^3 + 1\);
д) \(m^3 — 27n^3\);
б) \(c^3 + 27\);
г) \(1 — \frac{1}{8} p^3\);
е) \(\frac{1}{8} a^3 + b^3\).
а) \(8 — m^3 = 2^3 — m^3 = (2 — m)(4 + 2m + m^2)\)
б) \(c^3 + 27 = c^3 + 3^3 = (c + 3)(c^2 — 3c + 9)\)
в) \(64x^3 + 1 = (4x)^3 + 1^3 = (4x + 1)(16x^2 — 4x + 1)\)
г) \(1 — \frac{1}{8} p^3 = 1 — \left(\frac{1}{2} p\right)^3 = \left(1 — \frac{1}{2} p\right) \left(1 + \frac{1}{2} p + \frac{1}{4} p^2\right)\)
д) \(m^3 — 27n^3 = m^3 — (3n)^3 = (m — 3n)(m^2 + 3mn + 9n^2)\)
е) \(\frac{1}{8} a^3 + b^3 = \left(\frac{1}{2} a\right)^3 + b^3 = \left(\frac{1}{2} a + b\right) \left(\frac{1}{4} a^2 — \frac{1}{2} ab + b^2\right)\)
а) Выражение \(8 — m^3\) можно представить как разность кубов, так как \(8 = 2^3\). Формула разности кубов гласит, что \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\). Здесь \(a = 2\), \(b = m\). Подставляя, получаем разложение: \(8 — m^3 = 2^3 — m^3 = (2 — m)(4 + 2m + m^2)\). Это разложение позволяет упростить выражение и выделить множители, что удобно для дальнейших вычислений или упрощения.
Такое разложение полезно, когда нужно найти корни многочлена или упростить выражение для подстановки. Первая часть — это разность между двумя выражениями \(2\) и \(m\), а вторая — сумма квадратов и произведений, которая всегда положительна при вещественных \(m\). Благодаря этому мы можем легко видеть структуру многочлена и его свойства.
б) В выражении \(c^3 + 27\) мы имеем сумму кубов, так как \(27 = 3^3\). Формула суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\). Здесь \(a = c\), \(b = 3\). Подставляя, получаем разложение: \(c^3 + 27 = c^3 + 3^3 = (c + 3)(c^2 — 3c + 9)\). Это разложение показывает, что многочлен можно представить в виде произведения двух множителей, что упрощает работу с ним.
Такое разложение полезно для решения уравнений и упрощения выражений. Первый множитель — это сумма переменных \(c\) и числа 3, а второй — квадрат \(c\) с поправками на произведения, что отражает структуру исходного многочлена.
в) Выражение \(64x^3 + 1\) также является суммой кубов, так как \(64x^3 = (4x)^3\) и \(1 = 1^3\). Используя формулу суммы кубов, получаем: \(64x^3 + 1 = (4x)^3 + 1^3 = (4x + 1)(16x^2 — 4x + 1)\). Первый множитель — линейный многочлен, второй — квадратный многочлен с отрицательным и положительными коэффициентами.
Это разложение помогает понять структуру многочлена и упростить вычисления, например, при нахождении корней или интегрировании. Формула суммы кубов всегда даёт два множителя, что облегчает разложение на простые множители.
г) В выражении \(1 — \frac{1}{8} p^3\) заметим, что \(\frac{1}{8} p^3 = \left(\frac{1}{2} p\right)^3\). Значит, это разность кубов: \(1^3 — \left(\frac{1}{2} p\right)^3\). По формуле разности кубов: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\), где \(a = 1\), \(b = \frac{1}{2} p\). Подставляем: \(1 — \frac{1}{8} p^3 = (1 — \frac{1}{2} p)(1 + \frac{1}{2} p + \frac{1}{4} p^2)\).
Такое разложение удобно для упрощения выражений и решения уравнений, так как позволяет выделить линейный множитель и квадратный, что облегчает анализ функции.
д) Выражение \(m^3 — 27 n^3\) — разность кубов, так как \(27 n^3 = (3n)^3\). По формуле разности кубов: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\), где \(a = m\), \(b = 3n\). Разложение: \(m^3 — 27 n^3 = (m — 3n)(m^2 + 3mn + 9 n^2)\).
Это разложение позволяет выделить линейный множитель \(m — 3n\) и квадратный многочлен, что облегчает работу с выражением, например, при решении уравнений или упрощении.
е) Выражение \(\frac{1}{8} a^3 + b^3\) можно представить как сумму кубов: \(\left(\frac{1}{2} a\right)^3 + b^3\). По формуле суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\), где \(a = \frac{1}{2} a\), \(b = b\). Подставляем: \(\frac{1}{8} a^3 + b^3 = \left(\frac{1}{2} a + b\right) \left(\frac{1}{4} a^2 — \frac{1}{2} ab + b^2\right)\).
Это разложение помогает представить сложное выражение в виде произведения двух многочленов, что удобно для дальнейших преобразований и анализа. Первый множитель — линейный, второй — квадратный с поправками на произведения.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!