ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 925 Макарычев — Подробные Ответы

Запишите в виде произведения выражение:
а) \(x^3 — y^6\);
в) \(m^9 — n^3\);
д) \(a^6 + b^9\);
б) \(a^6 + b^3\);
г) \(p^3 + k^9\);
е) \(x^9 — y^9\).

а) \( x^3 — y^6 = x^3 — (y^2)^3 = (x — y^2)(x^2 + xy^2 + y^4) \)

б) \( a^6 + b^3 = (a^2)^3 + b^3 = (a^2 + b)(a^4 — a^2 b + b^2) \)

в) \( m^9 — n^3 = (m^3)^3 — n^3 = (m^3 — n)(m^6 + m^3 n + n^2) \)

г) \( p^3 + k^9 = p^3 + (k^3)^3 = (p + k^3)(p^2 — p k^3 + k^6) \)

д) \( a^6 + b^9 = (a^2)^3 + (b^3)^3 = (a^2 + b^3)(a^4 — a^2 b^3 + b^6) \)

е) \( x^9 — y^9 = (x^3)^3 — (y^3)^3 = (x^3 — y^3)(x^6 + x^3 y^3 + y^6) \)

а) Выражение \(x^3 — y^6\) можно переписать, заметив, что \(y^6 = (y^2)^3\). Это позволяет представить разность кубов в виде \(x^3 — (y^2)^3\). Формула разности кубов гласит, что \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\). Здесь \(a = x\), а \(b = y^2\). Подставляя, получаем разложение на множители: \((x — y^2)(x^2 + x y^2 + y^4)\).

Таким образом, мы используем стандартную формулу для разности кубов, чтобы упростить исходное выражение. Первый множитель — это разность оснований кубов, а второй — сумма квадратов и произведений этих оснований, что соответствует формуле. Это разложение полезно, так как позволяет представить исходный многочлен в виде произведения двух более простых выражений.

б) В выражении \(a^6 + b^3\) заметим, что \(a^6 = (a^2)^3\), то есть оно является кубом квадрата \(a\). Тогда имеем сумму кубов: \((a^2)^3 + b^3\). Формула суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\). Здесь \(a = a^2\), \(b = b\). Применяя эту формулу, получаем разложение: \((a^2 + b)(a^4 — a^2 b + b^2)\).

Это разложение позволяет упростить исходное выражение, разбив его на произведение двух многочленов. Первый множитель — сумма кубических корней, второй — выражение, содержащее квадраты и произведения этих корней. Такой подход часто используется для упрощения алгебраических выражений.

в) Рассмотрим разность степеней \(m^9 — n^3\). Заметим, что \(m^9 = (m^3)^3\), то есть это куб третьей степени \(m\). Значит, выражение можно переписать как разность кубов: \((m^3)^3 — n^3\). По формуле разности кубов: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\), где \(a = m^3\), \(b = n\). Следовательно, разложение будет: \((m^3 — n)(m^6 + m^3 n + n^2)\).

Это разложение удобно тем, что позволяет выделить простой множитель \(m^3 — n\) и более сложный многочлен, содержащий степени и произведения исходных переменных. Такой способ разложения часто используется для упрощения выражений и решения уравнений.

г) В выражении \(p^3 + k^9\) заметим, что \(k^9 = (k^3)^3\), то есть это куб третьей степени \(k\). Тогда исходное выражение можно представить как сумму кубов: \(p^3 + (k^3)^3\). Формула суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\), где \(a = p\), \(b = k^3\). С учетом этого получаем разложение: \((p + k^3)(p^2 — p k^3 + k^6)\).

Такое разложение важно, так как разбивает выражение на произведение двух множителей, где первый — сумма оснований кубов, а второй — выражение, содержащее квадраты и произведения этих оснований. Это упрощает последующие вычисления и анализ выражения.

д) Рассмотрим сумму \(a^6 + b^9\). Заметим, что \(a^6 = (a^2)^3\) и \(b^9 = (b^3)^3\). Значит, выражение можно представить как сумму кубов: \((a^2)^3 + (b^3)^3\). Применяя формулу суммы кубов \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\), где \(a = a^2\), \(b = b^3\), получаем разложение: \((a^2 + b^3)(a^4 — a^2 b^3 + b^6)\).

Это разложение позволяет упростить исходное выражение, разбив его на произведение двух многочленов. Первый множитель — сумма кубических корней, второй — выражение, содержащее квадраты и произведения этих корней. Такой подход часто применяется для упрощения алгебраических выражений.

е) В выражении \(x^9 — y^9\) заметим, что \(x^9 = (x^3)^3\) и \(y^9 = (y^3)^3\), то есть это разность кубов: \((x^3)^3 — (y^3)^3\). Применяя формулу разности кубов \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\), где \(a = x^3\), \(b = y^3\), получаем разложение: \((x^3 — y^3)(x^6 + x^3 y^3 + y^6)\).

Такое разложение полезно, так как позволяет представить исходный многочлен в виде произведения двух более простых выражений. Первый множитель — разность кубов, второй — сумма квадратов и произведений оснований кубов. Это упрощает работу с выражением и позволяет дальше его анализировать или использовать в решении задач.