ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 927 Макарычев — Подробные Ответы

Запишите в виде произведения:
а) \(-x^3 + y^3\);
в) \(-a^6 + \frac{1}{8}\);
д) \(c^6 + 1\);
б) \(-8 — p^3\);
г) \(-\frac{1}{27} — b^6\);
е) \(x^6 + y^6\).

а) \(-x^3 + y^3 = y^3 — x^3 = (y — x)(y^2 + xy + x^2)\)

б) \(-8 — p^3 = -(2^3 + p^3) = -(2 + p)(4 — 2p + p^2)\)

в) \(-a^6 + \frac{1}{8} = -\left(\frac{1}{2}\right)^3 — (a^2)^3 = -\left(\frac{1}{2} — a^2\right)\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}a^2 + a^4\right)\)

г) \(-\frac{1}{27} — b^6 = -\left(\frac{1}{3}\right)^3 — (b^2)^3 = -\left(\frac{1}{3} + b^2\right)\left(\frac{1}{9} — \frac{1}{3}b^2 + b^4\right)\)

д) \(c^6 + 1 = (c^2)^3 + 1^3 = (c^2 + 1)(c^4 — c^2 + 1)\)

е) \(x^6 + y^6 = (x^2)^3 + (y^2)^3 = (x^2 + y^2)(x^4 — x^2y^2 + y^4)\)

а) В выражении \( -x^3 + y^3 \) мы видим разность кубов, которую можно представить как \( y^3 — x^3 \). Формула для разности кубов гласит, что \( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \). Здесь \( a = y \), \( b = x \), поэтому раскладываем на множители: \( (y — x)(y^2 + xy + x^2) \). Это разложение удобно, потому что позволяет представить разность кубов как произведение двух выражений, что упрощает дальнейшие вычисления или упрощение.

Данный способ факторизации часто используется в алгебре для упрощения выражений и решения уравнений. Он помогает заменить сложную степень на более простые множители, которые легче анализировать. При этом важно помнить, что порядок вычитания в первом множителе сохраняется, то есть \( y — x \), а не наоборот.

б) В выражении \( -8 — p^3 \) заметим, что \( -8 = -(2^3) \), то есть это отрицание куба числа 2. Значит, можно переписать как \( -(2^3 + p^3) \). Здесь применяется формула суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \). Подставляя \( a = 2 \), \( b = p \), получаем \( (2 + p)(4 — 2p + p^2) \). Так как у нас стоит минус перед скобкой, итоговое выражение будет \( -(2 + p)(4 — 2p + p^2) \).

Это разложение важно для упрощения выражения и выделения общих множителей. Использование формулы суммы кубов позволяет перейти от сложной степени к произведению, что облегчает работу с выражением в дальнейшем, например, в уравнениях или при вычислениях.

в) Рассмотрим выражение \( -a^6 + \frac{1}{8} \). Заметим, что \( a^6 = (a^2)^3 \), а \( \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \). Значит, выражение можно переписать как разность кубов: \( — (a^2)^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 \), что равно \( -\left( (a^2)^3 — \left(\frac{1}{2}\right)^3 \right) \). Формула для разности кубов \( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \) применяется с \( a = \frac{1}{2} \), \( b = a^2 \).

Раскладываем: \( -\left(\frac{1}{2} — a^2\right)\left(\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}a^2 + (a^2)^2\right) \), что равно \( -\left(\frac{1}{2} — a^2\right)\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}a^2 + a^4\right) \). Это разложение полезно, так как позволяет представить выражение в виде произведения, что упрощает анализ и последующую работу с ним.

г) В выражении \( -\frac{1}{27} — b^6 \) видим сумму двух отрицательных чисел, но можно переписать как \( -\left(\frac{1}{27} + b^6\right) \). Заметим, что \( \frac{1}{27} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 \), а \( b^6 = (b^2)^3 \). Значит, внутри скобок сумма кубов: \( \left(\frac{1}{3}\right)^3 + (b^2)^3 \).

Используем формулу суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \), где \( a = \frac{1}{3} \), \( b = b^2 \). Получаем \( \left(\frac{1}{3} + b^2\right)\left(\left(\frac{1}{3}\right)^2 — \frac{1}{3}b^2 + (b^2)^2\right) \), что равно \( \left(\frac{1}{3} + b^2\right)\left(\frac{1}{9} — \frac{1}{3}b^2 + b^4\right) \). Ставим минус перед скобкой, итог: \( -\left(\frac{1}{3} + b^2\right)\left(\frac{1}{9} — \frac{1}{3}b^2 + b^4\right) \).

Такой прием позволяет упростить выражение и выделить множители, что полезно для дальнейших преобразований или решения уравнений.

д) Выражение \( c^6 + 1 \) можно представить как сумму кубов, заметив, что \( c^6 = (c^2)^3 \), а \( 1 = 1^3 \). Тогда имеем сумму кубов \( (c^2)^3 + 1^3 \). По формуле суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \) с \( a = c^2 \), \( b = 1 \).

Раскладываем: \( (c^2 + 1)(c^4 — c^2 \cdot 1 + 1^2) = (c^2 + 1)(c^4 — c^2 + 1) \). Это разложение показывает, как можно упростить сумму степеней с помощью формулы суммы кубов, что важно для упрощения выражений и решения задач.

е) В выражении \( x^6 + y^6 \) заметим, что \( x^6 = (x^2)^3 \) и \( y^6 = (y^2)^3 \), то есть это сумма кубов \( (x^2)^3 + (y^2)^3 \). Применяем формулу суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \) с \( a = x^2 \), \( b = y^2 \).

Получаем разложение: \( (x^2 + y^2)(x^4 — x^2 y^2 + y^4) \). Это выражение удобно тем, что позволяет заменить сложные степени на произведение двух многочленов, что облегчает работу с ними в алгебраических преобразованиях и решении уравнений.