ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 929 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения:
а) \(327^3 + 173^3\) делится на 500;
в) \(211^3 + 129^3\) делится на 17;
б) \(731^3 — 631^3\) делится на 100;
г) \(356^3 — 245^3\) делится на 3.

а) \(\frac{327^3 + 173^3}{500} = \frac{(327 + 173)(327^2 — 327 \cdot 173 + 173^2)}{500} =\) \(= \frac{500 \cdot (327^2 — 327 \cdot 173 + 173^2)}{500} = 327^2 — 327 \cdot 173 + 173^2\)

б) \(\frac{731^3 — 631^3}{100} = \frac{(731 — 631)(731^2 + 731 \cdot 631 + 631^2)}{100} =\) \(= \frac{100 \cdot (731^2 + 731 \cdot 631 + 631^2)}{100} = 731^2 + 731 \cdot 631 + 631^2\)

в) \(\frac{211^3 + 129^3}{17} = \frac{(211 + 129)(211^2 — 211 \cdot 129 + 129^2)}{17} =\) \(= \frac{340 \cdot (211^2 — 211 \cdot 129 + 129^2)}{17} = 20 \cdot (211^2 — 211 \cdot 129 + 129^2)\)

г) \(\frac{356^3 — 245^3}{3} = \frac{(356 — 245)(356^2 + 356 \cdot 245 + 245^2)}{3} =\) \(= \frac{111 \cdot (356^2 + 356 \cdot 245 + 245^2)}{3} = 37 \cdot (356^2 + 356 \cdot 245 + 245^2)\)

а) В данном выражении мы видим сумму кубов чисел 327 и 173, делённую на 500: \(\frac{327^3 + 173^3}{500}\). Для упрощения используем формулу разложения суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\). Применяя её, получаем \(\frac{(327 + 173)(327^2 — 327 \cdot 173 + 173^2)}{500}\). Сумма в скобках равна 500, поэтому числитель можно представить как произведение 500 на выражение в круглых скобках. Далее сокращаем 500 в числителе и знаменателе, получая окончательный результат: \(327^2 — 327 \cdot 173 + 173^2\).

Это сокращение возможно благодаря тому, что множитель \(327 + 173\) точно равен знаменателю 500, что позволяет упростить дробь без потери значения. Такой приём часто используется для сокращения дробей с кубическими степенями и позволяет быстро перейти к более простому выражению. В итоге мы избавляемся от кубов и деления, оставляя только квадратные и произведения чисел.

Таким образом, основная идея — разложить сумму кубов по формуле, выделить общий множитель, совпадающий с знаменателем, и сократить его. Это даёт нам компактное выражение, удобное для дальнейших вычислений или анализа.

б) Здесь рассматривается разность кубов чисел 731 и 631, делённая на 100: \(\frac{731^3 — 631^3}{100}\). Для упрощения используем формулу разности кубов: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\). Подставляем значения и получаем \(\frac{(731 — 631)(731^2 + 731 \cdot 631 + 631^2)}{100}\). Разность в скобках равна 100, что совпадает с знаменателем, поэтому числитель можно представить как произведение 100 на выражение в скобках. Сокращаем 100 и получаем итоговое выражение: \(731^2 + 731 \cdot 631 + 631^2\).

Этот шаг упрощает исходное выражение, избавляя от кубов и деления, и переводит задачу к вычислению суммы квадратов и произведения. Формулы суммы и разности кубов позволяют эффективно разложить сложные степени на более простые множители. Благодаря совпадению множителя с знаменателем происходит удобное сокращение.

Такой приём часто используется в алгебре для упрощения выражений с кубами, когда знаменатель совпадает с разностью или суммой чисел в кубах. В результате мы получаем более удобную для вычисления форму.

в) В этом примере нужно упростить выражение \(\frac{211^3 + 129^3}{17}\). Снова применяем формулу суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\). Подставляем числа и записываем: \(\frac{(211 + 129)(211^2 — 211 \cdot 129 + 129^2)}{17}\). Сумма в скобках равна 340, которую можно представить как произведение 17 на 20: \(340 = 17 \cdot 20\). Следовательно, числитель равен \(17 \cdot 20 \cdot (211^2 — 211 \cdot 129 + 129^2)\).

Делим числитель на 17, сокращая этот множитель, и остаётся выражение \(20 \cdot (211^2 — 211 \cdot 129 + 129^2)\). Таким образом, исходная дробь упрощается до произведения числа 20 и квадратичного выражения. Важно заметить, что разложение суммы кубов позволило выделить множитель, который совпал с делителем, что облегчило процесс сокращения.

Это классический пример использования формулы суммы кубов для упрощения рациональных выражений, где числитель и знаменатель имеют общий множитель.

г) Рассматриваем выражение \(\frac{356^3 — 245^3}{3}\). Применяем формулу разности кубов: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\). Записываем: \(\frac{(356 — 245)(356^2 + 356 \cdot 245 + 245^2)}{3}\). Разность чисел равна 111, поэтому числитель — это произведение 111 на квадратное выражение. Числитель можно представить как \(111 \cdot (356^2 + 356 \cdot 245 + 245^2)\).

Делим числитель на 3, сокращая 111 на 3, получаем \(37 \cdot (356^2 + 356 \cdot 245 + 245^2)\). Таким образом, исходное выражение упрощается до произведения 37 и суммы квадратов и произведений чисел. Использование формулы разности кубов дало возможность разложить кубические степени и выделить общий множитель, совпадающий с делителем, что позволило сократить дробь.

Подобные преобразования широко применяются в алгебре для упрощения выражений с большими степенями, особенно когда числитель и знаменатель имеют общие множители. Это значительно облегчает вычисления и делает выражение более компактным.