ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 943 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:
a) \( (a — 1)(a^2 + 1)(a + 1) — (a^2 — 1)^2 — 2(a^2 — 3) \);
б) \( (a^2 — 3)^2 — (a — 2)(a^2 + 4)(a + 2) — 6(5 — a^2) \).

а) \((a — 1)(a^2 + 1)(a + 1) — (a^2 — 1)^2 — 2(a^2 — 3) =\)

\(= (a^2 — 1)(a^2 + 1) — (a^4 — 2a^2 + 1) — 2a^2 + 6 =\)

\(= a^4 — 1 — a^4 + 2a^2 — 1 — 2a^2 + 6 = 4.\)

б) \((a^2 — 3)^2 — (a — 2)(a^2 + 4)(a + 2) — 6(5 — a^2) =\)

\(= a^4 — 6a^2 + 9 — (a^2 — 4)(a^2 + 4) — 30 + 6a^2 =\)

\(= a^4 — 6a^2 + 9 — (a^4 — 16) — 30 + 6a^2 =\)

\(= a^4 — 6a^2 + 9 — a^4 + 16 — 30 + 6a^2 = -5.\)

а) Вначале раскрываем произведение \((a — 1)(a^2 + 1)(a + 1)\). Заметим, что \((a — 1)(a + 1) = a^2 — 1\), поэтому выражение упрощается до \((a^2 — 1)(a^2 + 1)\). Это произведение можно раскрыть по формуле разности квадратов: \((a^2 — 1)(a^2 + 1) = a^4 — 1\). Далее вычитаем квадрат \((a^2 — 1)^2\), который равен \(a^4 — 2a^2 + 1\).

Затем учтём вычитание выражения \(2(a^2 — 3)\), что равно \(2a^2 — 6\) с отрицательным знаком, то есть \(-2a^2 + 6\). Подставляем все в исходное выражение: \(a^4 — 1 — (a^4 — 2a^2 + 1) — 2a^2 + 6\). Раскрываем скобки и приводим подобные члены: \(a^4 — 1 — a^4 + 2a^2 — 1 — 2a^2 + 6\). Сокращаем \(a^4\) и \(-a^4\), складываем оставшиеся члены: \(-1 — 1 + 6 = 4\).

Таким образом, итоговое значение выражения равно \(4\).

б) Сначала раскрываем квадрат \((a^2 — 3)^2\), что даёт \(a^4 — 6a^2 + 9\). Затем рассмотрим произведение \((a — 2)(a^2 + 4)(a + 2)\). Заметим, что \((a — 2)(a + 2) = a^2 — 4\), поэтому выражение упрощается до \((a^2 — 4)(a^2 + 4)\). По формуле разности квадратов это равно \(a^4 — 16\).

Далее вычитаем \(6(5 — a^2)\), что равно \(30 — 6a^2\) с отрицательным знаком, то есть \(-30 + 6a^2\). Подставляем все части в исходное выражение: \(a^4 — 6a^2 + 9 — (a^4 — 16) — 30 + 6a^2\). Раскрываем скобки: \(a^4 — 6a^2 + 9 — a^4 + 16 — 30 + 6a^2\).

Сокращаем \(a^4\) и \(-a^4\), а также \(-6a^2\) и \(6a^2\), остаётся \(9 + 16 — 30 = -5\).

Итоговое значение выражения равно \(-5\).