ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 946 Макарычев — Подробные Ответы

Представьте данный трёхчлен, если это возможно, в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена:
a) \( 25y^2 — 15ay + 9a^2 \);
б) \( 15ab — 9a^2 — 6\frac{1}{4}b^2 \);
в) \( 4b^2 + 0,25c^2 — 2bc \);
г) \( 0,36a^2 + 0,04y^2 — 0,24ay \).

а) \(25y^2 — 15ay + 9a^2\) — невозможно представить в виде полного квадрата.

б) \(15ab — 9a^2 — 6 \cdot \frac{1}{4} b^2 = — \left( 9a^2 — 15ab + \frac{25}{4} b^2 \right) = — \left( 3a — \frac{5}{2} b \right)^2\)

в) \(4b^2 + 0,25c^2 — 2bc = 4b^2 — 2bc + 0,25c^2 = (2b — 0,5c)^2\)

г) \(0,36a^2 + 0,04y^2 — 0,24ay = 0,36a^2 — 0,24ay + 0,04y^2 =\) \(= (0,6a — 0,2y)^2\)

а) Выражение \(25y^2 — 15ay + 9a^2\) представляет собой квадратный трехчлен по переменной \(y\) с коэффициентами, зависящими от \(a\). Чтобы представить его в виде полного квадрата, нужно проверить, равна ли середина выражения удвоенному произведению корня первого и третьего слагаемых. Корень из \(25y^2\) — это \(5y\), корень из \(9a^2\) — это \(3a\). Удвоенное произведение будет \(2 \cdot 5y \cdot 3a = 30ay\). В исходном выражении средний член равен \(-15ay\), что не совпадает с \(30ay\), и даже по модулю не равно. Следовательно, выражение нельзя разложить на полный квадрат.

Попытка представить этот трехчлен в виде \((5y — 3a)^2\) или \((5y + 3a)^2\) не увенчается успехом, так как в первом случае средний член будет \(-30ay\), а во втором \(+30ay\), а у нас стоит \(-15ay\). Это означает, что данное выражение не является квадратом бинома и не может быть упрощено до такого вида.

Таким образом, выражение \(25y^2 — 15ay + 9a^2\) не является полным квадратом и не поддается дальнейшему разложению на квадратные множители.

б) Рассмотрим выражение \(15ab — 9a^2 — 6 \cdot \frac{1}{4} b^2\). Сначала упростим последний член: \(6 \cdot \frac{1}{4} b^2 = \frac{6}{4} b^2 = \frac{3}{2} b^2\). Перепишем выражение: \(15ab — 9a^2 — \frac{3}{2} b^2\).

Для удобства умножим все слагаемые на \(4\), чтобы избавиться от дробей: \(4 \cdot 15ab = 60ab\), \(4 \cdot (-9a^2) = -36a^2\), \(4 \cdot \left(-\frac{3}{2} b^2\right) = -6 b^2\). Получаем \(60ab — 36a^2 — 6b^2\).

Теперь сгруппируем слагаемые в скобки: \(- \left( 9a^2 — 15ab + \frac{25}{4} b^2 \right)\). Здесь мы видим выражение, похожее на квадрат бинома. Проверим: корень из \(9a^2\) — \(3a\), корень из \(\frac{25}{4} b^2\) — \(\frac{5}{2} b\). Удвоенное произведение \(3a\) и \(\frac{5}{2} b\) равно \(2 \cdot 3a \cdot \frac{5}{2} b = 15ab\), что совпадает с коэффициентом в середине.

Следовательно, выражение можно записать как \(- \left( 3a — \frac{5}{2} b \right)^2\).

в) В выражении \(4b^2 + 0,25c^2 — 2bc\) заметим, что \(4b^2 = (2b)^2\), \(0,25c^2 = (0,5c)^2\). Средний член \(-2bc\) можно представить как \(-2 \cdot 2b \cdot 0,5c\), что совпадает с удвоенным произведением корней крайних членов.

Поэтому выражение равно квадрату разности: \((2b — 0,5c)^2\).

г) Рассмотрим выражение \(0,36a^2 + 0,04y^2 — 0,24ay\). Корни крайних членов: \(\sqrt{0,36a^2} = 0,6a\), \(\sqrt{0,04y^2} = 0,2y\). Удвоенное произведение корней: \(2 \cdot 0,6a \cdot 0,2y = 0,24ay\), что совпадает с модулем среднего члена, но знак минус, значит это квадрат разности.

Таким образом, выражение можно переписать как \((0,6a — 0,2y)^2\).