ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 950 Макарычев — Подробные Ответы

Разложите на множители многочлен:
а) \(5x^2 — 5y^2\);
б) \(2ax^2 — 2ay^2\);
в) \(16x^2 — 4\);
г) \(am^2 — an^2\);
д) \(9p^2 — 9\);
е) \(75 — 27c^2\).

а) \(5x^2 — 5y^2 = 5 \cdot (x^2 — y^2) = 5 \cdot (x — y)(x + y)\)

б) \(am^2 — an^2 = a(m^2 — n^2) = a \cdot (m — n)(m + n)\)

в) \(2ax^2 — 2ay^2 = 2a(x^2 — y^2) = 2a \cdot (x — y)(x + y)\)

г) \(9p^2 — 9 = 9 \cdot (p^2 — 1) = 9 \cdot (p — 1)(p + 1)\)

д) \(16x^2 — 4 = 4 \cdot (4x^2 — 1) = 4 \cdot (2x — 1)(2x + 1)\)

е) \(75 — 27c^2 = 3 \cdot (25 — 9c^2) = 3 \cdot (5 — 3c)(5 + 3c)\)

а) В этом выражении мы видим разность квадратов двух переменных \(x\) и \(y\), умноженную на коэффициент 5. Сначала выделяем общий множитель 5: \(5x^2 — 5y^2 = 5 \cdot (x^2 — y^2)\). Далее применяем формулу разности квадратов, которая гласит, что \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Здесь \(a = x\), \(b = y\), значит \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\). Подставляя это обратно, получаем \(5 \cdot (x — y)(x + y)\).

Таким образом, факторизация выражения сводится к вынесению общего множителя и применению формулы разности квадратов. Это позволяет представить исходное выражение в виде произведения трех множителей, что часто упрощает дальнейшие вычисления или решения уравнений.

б) В данном случае у нас выражение с общим множителем \(a\) и разностью квадратов \(m^2\) и \(n^2\). Сначала выделяем общий множитель: \(am^2 — an^2 = a(m^2 — n^2)\). Затем применяем формулу разности квадратов: \(m^2 — n^2 = (m — n)(m + n)\). Подставляя эту форму, получаем \(a \cdot (m — n)(m + n)\).

Такой подход упрощает выражение, позволяя видеть его как произведение трех множителей. Это особенно полезно при решении уравнений или упрощении выражений, так как факторизация выявляет корни или нули функции.

в) Здесь также имеем общий множитель \(2a\) и разность квадратов \(x^2\) и \(y^2\). Сначала выделяем общий множитель: \(2ax^2 — 2ay^2 = 2a(x^2 — y^2)\). Применяем формулу разности квадратов: \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\). В итоге получаем \(2a \cdot (x — y)(x + y)\).

Выделение общего множителя и применение формулы разности квадратов позволяет упростить выражение и представить его в виде произведения, что облегчает анализ и вычисления.

г) В этом выражении общий множитель 9, а внутри скобок разность квадратов \(p^2\) и 1. Сначала выделяем 9: \(9p^2 — 9 = 9 \cdot (p^2 — 1)\). Далее применяем формулу разности квадратов: \(p^2 — 1 = (p — 1)(p + 1)\). Получаем \(9 \cdot (p — 1)(p + 1)\).

Факторизация таким образом разбивает выражение на более простые множители, что удобно для дальнейших преобразований или решения уравнений.

д) Здесь выражение \(16x^2 — 4\) можно представить как произведение 4 и разности квадратов \(4x^2\) и 1: \(16x^2 — 4 = 4 \cdot (4x^2 — 1)\). Далее применяем формулу разности квадратов к \(4x^2 — 1\), где \(4x^2 = (2x)^2\), а 1 — это \(1^2\). Значит, \(4x^2 — 1 = (2x — 1)(2x + 1)\). В итоге получаем \(4 \cdot (2x — 1)(2x + 1)\).

Такое разложение помогает увидеть структуру выражения и упростить его для дальнейших действий.

е) В этом выражении выделяем общий множитель 3: \(75 — 27c^2 = 3 \cdot (25 — 9c^2)\). Внутри скобок снова разность квадратов: \(25 = 5^2\), \(9c^2 = (3c)^2\). Применяем формулу разности квадратов: \(25 — 9c^2 = (5 — 3c)(5 + 3c)\). В итоге получаем \(3 \cdot (5 — 3c)(5 + 3c)\).

Такое разложение позволяет упростить исходное выражение и сделать его более удобным для анализа или решения задач.