ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 958 Макарычев — Подробные Ответы

Разложите на множители:
а) \(4xy + 12y — 4x — 12\);
б) \(-abc — 5ac — 4ab — 20a\);
в) \(60 + 6ab — 30b — 12a\);
г) \(a^3 + a^2b + a^2 + ab\).

а) \(4xy + 12y — 4x — 12 = 4y \cdot (x+3) — 4 \cdot (x+3) = (x+3)(4y — 4) =\) \(= 4 \cdot (x+3)(y-1)\)

б) \(60 + 6ab — 30b — 12a = 6 \cdot (10 + ab — 5b — 2a) =\) \(= 6 \cdot (2 \cdot (5 — a) — b \cdot (5 — a)) = 6 \cdot (5 — a)(2 — b)\)

в) \(-abc — 5ac — 4ab — 20a = -5a \cdot (c + 4) — ab \cdot (c + 4) =\) \(= (c + 4)(-5a — ab) = -a \cdot (c + 4)(5 + b)\)

г) \(a^3 + a^2b + a^2 + ab = a^2 \cdot (a + 1) + ab \cdot (a + 1) =\) \(= (a + 1)(a^2 + ab) = a \cdot (a + 1)(a + b)\)

а) В данном выражении \(4xy + 12y — 4x — 12\) мы видим четыре слагаемых, каждое из которых содержит переменные \(x\) и \(y\) в различных комбинациях. Чтобы упростить выражение, нужно выделить общий множитель. Заметим, что первые два слагаемых \(4xy + 12y\) содержат общий множитель \(4y\), а последние два \(-4x — 12\) — общий множитель \(-4\). Вынесем эти множители: \(4y(x + 3) — 4(x + 3)\). Теперь у нас есть общий множитель \((x + 3)\) в обоих слагаемых, который можно вынести за скобки, получая \((x + 3)(4y — 4)\).

Далее можно упростить вторую скобку, вынеся общий множитель \(4\): \(4(y — 1)\). В итоге выражение приобретает вид \(4(x + 3)(y — 1)\). Таким образом, мы разложили исходное выражение на произведение трех множителей, что значительно упрощает его анализ и дальнейшее использование.

б) В выражении \(60 + 6ab — 30b — 12a\) сначала вынесем общий множитель \(6\), так как все слагаемые делятся на 6: \(6(10 + ab — 5b — 2a)\). Далее рассмотрим скобки: \(10 + ab — 5b — 2a\). Здесь можно сгруппировать слагаемые так, чтобы выделить общий множитель. Группируем как \(2(5 — a) — b(5 — a)\), где \(2(5 — a) = 10 — 2a\), а \(b(5 — a) = 5b — ab\).

Теперь внутри скобок у нас есть общий множитель \((5 — a)\), который можно вынести за скобки: \((5 — a)(2 — b)\). В итоге исходное выражение преобразуется в \(6(5 — a)(2 — b)\), что является разложением на произведение трех множителей.

в) Рассмотрим выражение \(-abc — 5ac — 4ab — 20a\). Здесь можно сгруппировать слагаемые по двум парам: \(-5a(c + 4)\) и \(-ab(c + 4)\). В первой паре вынесен множитель \(-5a\), а во второй — \(ab\), при этом внутри скобок одинаковое выражение \((c + 4)\). Следовательно, можно вынести общий множитель \((c + 4)\) за скобки: \((c + 4)(-5a — ab)\).

Далее внутри второй скобки выделим общий множитель \(-a\), получая \(-a(5 + b)\). В итоге исходное выражение принимает вид \(-a(c + 4)(5 + b)\), что является удобным факторизованным видом.

г) В выражении \(a^3 + a^2b + a^2 + ab\) сгруппируем слагаемые так: \(a^2(a + 1) + ab(a + 1)\). В обеих группах есть общий множитель \((a + 1)\), который можно вынести за скобки, получая \((a + 1)(a^2 + ab)\).

Далее в скобках \(a^2 + ab\) можно вынести общий множитель \(a\), что дает \(a(a + b)\). Таким образом, исходное выражение преобразуется в произведение трех множителей: \(a(a + 1)(a + b)\), что является более компактной и удобной формой.