ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 959 Макарычев — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения:
а) \(45b + 6a — 3ab — 90\);
б) \(-5xy — 40y — 15x — 120\);
в) \(ac^4 — c^4 + ac^3 — c^3\);
г) \(x^3 — x^2y + x^2 — xy\).

а) \(45b + 6a — 3ab — 90 = 45 \cdot (b — 2) — 3a \cdot (b — 2) =\) \(= (b — 2)(45 — 3a) = 3 \cdot (b — 2)(15 — a)\)

б) \(-5xy — 40y — 15x — 120 = -5y \cdot (x + 8) — 15 \cdot (x + 8) =\) \(= (x + 8)(-5y — 15) = -5 \cdot (x + 8)(y + 3)\)

в) \(ac^4 — c^4 + ac^3 — c^3 = c^4 \cdot (a — 1) + c^3 \cdot (a — 1) =\) \(= (a — 1)(c^4 + c^3) = c^3 \cdot (a — 1)(c + 1)\)

г) \(x^3 — x^2 y + x^2 — xy = x^2 \cdot (x + 1) — xy \cdot (x + 1) =\) \(= (x + 1)(x^2 — xy) = x \cdot (x + 1)(x — y)\)

а) В данном выражении \(45b + 6a — 3ab — 90\) мы видим четыре слагаемых, каждое из которых содержит переменные \(a\) и \(b\) или константы. Для упрощения попробуем сгруппировать слагаемые так, чтобы вынести общий множитель. Сначала выделим из первых двух слагаемых множитель, связанный с \(b\), и из последних двух — с \(a\). Запишем это как \(45 \cdot (b — 2) — 3a \cdot (b — 2)\). Здесь мы заметили, что и в первом, и во втором слагаемом есть общий множитель \((b — 2)\), который можно вынести за скобки. Таким образом, получаем выражение \((b — 2)(45 — 3a)\).

Далее заметим, что в скобках \(45 — 3a\) можно выделить общий множитель 3, что даст \(3 \cdot (15 — a)\). В итоге выражение принимает вид \(3 \cdot (b — 2)(15 — a)\). Такой способ разложения называется группировкой и позволяет упростить исходное выражение, выделяя общие множители и сокращая его.

б) Выражение \(-5xy — 40y — 15x — 120\) содержит четыре слагаемых с переменными \(x\) и \(y\). Для упрощения начнем с группировки слагаемых: выделим \(-5y\) из первых двух и \(-15\) из последних двух, записав как \(-5y \cdot (x + 8) — 15 \cdot (x + 8)\). Здесь мы видим, что в обоих множителях есть общий множитель \((x + 8)\), который можно вынести за скобки, получая \((x + 8)(-5y — 15)\).

Внутри скобок \(-5y — 15\) можно выделить общий множитель \(-5\), что даст \(-5(y + 3)\). Итоговое выражение примет вид \(-5 \cdot (x + 8)(y + 3)\). Такой прием упрощения позволяет легче работать с выражением и применять дальнейшие преобразования.

в) В выражении \(ac^4 — c^4 + ac^3 — c^3\) заметим, что слагаемые можно разбить на две группы: \(ac^4 — c^4\) и \(ac^3 — c^3\). В каждой группе можно вынести общий множитель: в первой \(c^4\), во второй \(c^3\), что даст \(c^4 \cdot (a — 1) + c^3 \cdot (a — 1)\). Теперь видно, что у обеих частей есть общий множитель \((a — 1)\), который можно вынести за скобки, получая \((a — 1)(c^4 + c^3)\).

Внутри скобок \(c^4 + c^3\) можно выделить общий множитель \(c^3\), что даст \(c^3 (c + 1)\). В итоге выражение принимает вид \(c^3 \cdot (a — 1)(c + 1)\). Такой подход — последовательное выделение общих множителей — помогает значительно упростить исходное выражение.

г) Рассмотрим выражение \(x^3 — x^2 y + x^2 — xy\). Можно сгруппировать слагаемые как \(x^2 \cdot (x + 1) — xy \cdot (x + 1)\), выделяя общий множитель \((x + 1)\). Таким образом, получаем \((x + 1)(x^2 — xy)\).

В выражении \(x^2 — xy\) можно вынести общий множитель \(x\), что даст \(x(x — y)\). Подставляя обратно, получаем итоговое разложение \(x \cdot (x + 1)(x — y)\). Этот метод группировки и выделения общих множителей упрощает выражение и облегчает дальнейшую работу с ним.