Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 961 Макарычев — Подробные Ответы
Разложите на множители:
а) \(x^2 + 2xy + y^2 — m^2\);
б) \(p^2 — a^2 — 2ab — b^2\);
в) \(b^2 — c^2 — 8b + 16\);
г) \(9 — c^2 + a^2 — 6a\).
a) \(x^2 + 2xy + y^2 — m^2 = (x + y)^2 — m^2 = (x + y — m)(x + y + m)\)
б) \(p^2 — a^2 — 2ab — b^2 = p^2 — (a^2 + 2ab + b^2) = p^2 — (a + b)^2 =\) \(= (p — a — b)(p + a + b)\)
в) \(b^2 — c^2 — 8b + 16 = (b^2 — 8b + 16) — c^2 = (b — 4)^2 — c^2 =\) \(= (b — 4 — c)(b — 4 + c)\)
г) \(9 — c^2 + a^2 — 6a = (a^2 — 6a + 9) — c^2 = (a — 3)^2 — c^2 =\) \(= (a — 3 — c)(a — 3 + c)\)
а) Рассмотрим выражение \(x^2 + 2xy + y^2 — m^2\). Первым шагом заметим, что \(x^2 + 2xy + y^2\) является полным квадратом суммы двух переменных, так как по формуле квадрата суммы: \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\). Поэтому можно переписать исходное выражение как \((x + y)^2 — m^2\). Далее видим разность квадратов, которую можно разложить по формуле: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Здесь \(a = x + y\), а \(b = m\). Значит, итоговое разложение будет выглядеть как произведение двух скобок: \((x + y — m)(x + y + m)\).
Такое разложение позволяет упростить выражение и использовать его для дальнейших вычислений или подстановок. Это классический пример применения формулы разности квадратов, которая часто встречается в алгебре и помогает свести сложные многочлены к произведению более простых выражений.
б) В выражении \(p^2 — a^2 — 2ab — b^2\) сначала сгруппируем члены, чтобы выделить полный квадрат. Сложим члены с \(a\) и \(b\): \(a^2 + 2ab + b^2\). По формуле квадрата суммы это \((a + b)^2\). Тогда исходное выражение можно записать как \(p^2 — (a + b)^2\). Это снова разность квадратов, которую раскладываем по формуле \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\), где теперь \(a = p\), \(b = a + b\). Получаем разложение \((p — a — b)(p + a + b)\).
Такое преобразование удобно, так как сводит выражение к произведению двух линейных множителей, что упрощает решение уравнений или вычисление значений при заданных переменных.
в) В выражении \(b^2 — c^2 — 8b + 16\) сначала обратим внимание на часть с переменной \(b\): \(b^2 — 8b + 16\). Это квадрат бинома, так как \(b^2 — 8b + 16 = (b — 4)^2\). Тогда исходное выражение перепишем как \((b — 4)^2 — c^2\). Опять видим разность квадратов, которую раскладываем по формуле \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\), где \(a = b — 4\), \(b = c\). Итоговое разложение: \((b — 4 — c)(b — 4 + c)\).
Такое разложение полезно для упрощения выражений и решения уравнений, где важно представить многочлен в виде произведения.
г) Рассмотрим выражение \(9 — c^2 + a^2 — 6a\). Сгруппируем члены с \(a\): \(a^2 — 6a + 9\). Это полный квадрат, так как \(a^2 — 6a + 9 = (a — 3)^2\). Тогда исходное выражение примет вид \((a — 3)^2 — c^2\). Это разность квадратов, которую раскладываем по формуле \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\), где \(a = a — 3\), \(b = c\). Получаем разложение \((a — 3 — c)(a — 3 + c)\).
Такое разложение облегчает работу с выражением, позволяя заменить сложный многочлен на произведение двух более простых выражений, что удобно для анализа и вычислений.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!