ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 967 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что значения многочлена \(x^3 — x\) при целых значениях \(x\) кратны числу 6.

\(x^3 — x = x(x^2 — 1) = x(x — 1)(x + 1)\)

Данное выражение представляет собой произведение трёх последовательных чисел, одно из которых кратно 2, а другое кратно 3, значит, значение выражения кратно 6.

\(x^3 — x\) можно представить в виде произведения нескольких множителей. Сначала вынесем \(x\) за скобки: \(x^3 — x = x(x^2 — 1)\). Далее заметим, что выражение \(x^2 — 1\) является разностью квадратов и раскладывается на множители по формуле \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Применяя эту формулу, получаем \(x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1)\). Таким образом, исходное выражение можно переписать как \(x(x — 1)(x + 1)\).

Это произведение трёх последовательных чисел: \(x — 1\), \(x\), и \(x + 1\). Последовательные числа отличаются друг от друга на 1, то есть идут подряд. Среди трёх последовательных чисел обязательно найдётся число, кратное 2, так как среди любых двух последовательных чисел одно чётное. Кроме того, среди трёх последовательных чисел обязательно есть число, кратное 3, так как каждое третье число делится на 3.

Поскольку произведение включает число, делящееся на 2, и число, делящееся на 3, значит, всё произведение делится на произведение этих чисел, то есть на 6. Другими словами, значение выражения \(x(x — 1)(x + 1)\) всегда кратно 6 для любого целого \(x\). Это свойство позволяет сделать вывод о кратности исходного выражения \(x^3 — x\) числу 6 без необходимости вычислять конкретные значения.