Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 974 Макарычев — Подробные Ответы
Используя треугольник Паскаля, напишите формулу для шестой степени двучлена \(a+b\). Проверьте результат, умножив на \(a+b\) многочлен, равный \((a+b)^5\).
Формула для шестой степени двучлена \(a+b\), используя треугольник Паскаля:
\((a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6\).
Проверим, умножив \((a+b)^5\) на \((a+b)\):
\((a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5\),
тогда
\((a + b)^5 \cdot (a + b) = (a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5)(a + b)\).
Раскроем скобки:
\(= a^6 + 5a^5b + 10a^4b^2 + 10a^3b^3 + 5a^2b^4 + ab^5 + a^5b + 5a^4b^2 +\) \(+ 10a^3b^3 + 10a^2b^4 + 5ab^5 + b^6\).
Соберём подобные члены:
\(= a^6 + (5a^5b + a^5b) + (10a^4b^2 + 5a^4b^2) + (10a^3b^3 + 10a^3b^3) +\) \(+ (5a^2b^4 + 10a^2b^4) + (ab^5 + 5ab^5) + b^6\),
получаем:
\(= a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6\),
что совпадает с формулой для \((a+b)^6\).
Формула для шестой степени двучлена \(a + b\) строится на основе коэффициентов треугольника Паскаля. Каждый коэффициент указывает, сколько раз соответствующая степень переменной \(a\) и \(b\) входит в разложение. В частности, для степени 6 коэффициенты равны 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Это значит, что выражение \((a + b)^6\) можно представить как сумму слагаемых, где каждая степень \(a\) убывает от 6 до 0, а степень \(b\) соответственно возрастает от 0 до 6. Таким образом, формула записывается как: \((a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6\).
Для проверки правильности этой формулы можно воспользоваться свойством степеней и умножить многочлен \((a + b)^5\) на \((a + b)\). Многочлен \((a + b)^5\) уже известен и равен \(a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5\). При умножении каждого слагаемого этого многочлена на \(a\) и \(b\) мы получаем новый многочлен, где степени переменных увеличиваются на 1. Это соответствует определению степени суммы: \((a + b)^6 = (a + b)^5 \cdot (a + b)\).
Раскроем скобки подробно: каждый член из \((a + b)^5\) умножается на \(a\), а затем на \(b\). Например, \(a^5\) умножается на \(a\), давая \(a^6\), и на \(b\), давая \(a^5b\). Аналогично, \(5a^4b\) умножается на \(a\), давая \(5a^5b\), и на \(b\), давая \(5a^4b^2\). Продолжая так для всех слагаемых, мы получаем многочлен:
\(a^6 + 5a^5b + 10a^4b^2 + 10a^3b^3 + 5a^2b^4 + ab^5 + a^5b + 5a^4b^2 +\) \(+ 10a^3b^3 + 10a^2b^4 + 5ab^5 + b^6\).
Далее нужно собрать подобные члены, то есть сложить коэффициенты при одинаковых степенях \(a\) и \(b\). Например, \(5a^5b\) и \(a^5b\) дают \(6a^5b\), \(10a^4b^2\) и \(5a^4b^2\) дают \(15a^4b^2\), \(10a^3b^3\) и \(10a^3b^3\) дают \(20a^3b^3\), и так далее. После объединения подобных слагаемых получаем итоговый многочлен:
\(a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6\),
который совпадает с формулой для \((a + b)^6\). Таким образом, умножение \((a + b)^5\) на \((a + b)\) подтверждает правильность записи формулы шестой степени двучлена с использованием коэффициентов треугольника Паскаля.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!