ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 980 Макарычев — Подробные Ответы

Какой остаток получится при делении числа \(147^6\) на 145?

\(147^6 : 145 = \frac{(145+2)^6}{145} = \)

\(= \frac{145^6 + 6 \cdot 145^5 \cdot 2 + 15 \cdot 145^4 \cdot 2^2 + 20 \cdot 145^3 \cdot 2^3 + 15 \cdot 145^2 \cdot 2^4 + 6 \cdot 145 \cdot 2^5 + 2^6}{145} = \)

\(= \frac{145^6 + 6 \cdot 145^5 \cdot 2 + 15 \cdot 145^4 \cdot 4 + 20 \cdot 145^3 \cdot 8 + 15 \cdot 145^2 \cdot 16 + 6 \cdot 145 \cdot 32 + 64}{145}\)

Все члены многочлена, кроме 64, делятся на 145, значит, остаток будет равен 64.

Рассмотрим деление числа \(147^6\) на \(145\). Для удобства представим \(147\) в виде суммы \(145 + 2\), то есть \(147 = 145 + 2\). Тогда выражение \(147^6\) можно переписать как \((145 + 2)^6\). Это позволяет применить формулу бинома Ньютона для раскрытия степени суммы. Формула бинома Ньютона гласит, что \((a + b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k\), где \(C_n^k\) — биномиальные коэффициенты. В нашем случае \(a = 145\), \(b = 2\), \(n = 6\).

Раскроем \((145 + 2)^6\) по формуле:

\(
(145 + 2)^6 = 145^6 + 6 \cdot 145^5 \cdot 2 + 15 \cdot 145^4 \cdot 2^2 + 20 \cdot 145^3 \cdot 2^3 +\) \(+ 15 \cdot 145^2 \cdot 2^4 + 6 \cdot 145 \cdot 2^5 + 2^6.
\)

Каждый член — это произведение степени \(145\) и степени \(2\), умноженное на соответствующий биномиальный коэффициент. Теперь нужно разделить это выражение на \(145\), то есть найти частное и остаток от деления. Для этого запишем

\(
\frac{(145 + 2)^6}{145} = \frac{145^6 + 6 \cdot 145^5 \cdot 2 + 15 \cdot 145^4 \cdot 2^2 + 20 \cdot 145^3 \cdot 2^3 + 15 \cdot 145^2 \cdot 2^4 + 6 \cdot 145 \cdot 2^5 + 2^6}{145}.
\)

Обратим внимание, что все слагаемые, кроме последнего \(2^6\), содержат множитель \(145\) в какой-либо степени. Это значит, что при делении на \(145\) все эти члены будут делиться без остатка, так как \(145^k\) делится на \(145\) для любого \(k \geq 1\). Таким образом, остаток от деления будет равен остатку от деления последнего слагаемого \(2^6\) на \(145\).

Вычислим \(2^6\):

\(
2^6 = 64.
\)

Поскольку \(64 < 145\), остаток от деления \(64\) на \(145\) равен \(64\). Следовательно, остаток от деления всего выражения \(147^6\) на \(145\) равен \(64\). Итог: все члены многочлена, кроме \(64\), делятся на \(145\), значит, остаток от деления \(147^6\) на \(145\) равен \(64\).