Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 981 Макарычев — Подробные Ответы
Докажите, что значение выражения:
а) \(8^3 + 65\) кратно 81;
б) \(14^{110} + 88\) кратно 139.
а) \(83^4 + 65 = (81 + 2)^4 + 65 = 81^4 + 4 \cdot 81^3 \cdot 2 + 6 \cdot 81^2 \cdot 2^2 +\) \(+ 4 \cdot 81 \cdot 2^3 + 2^4 + 65 = 81^4 + 4 \cdot 81^3 \cdot 2 + 6 \cdot 81^2 \cdot 4 + 4 \cdot 81 \cdot 8 +\) \(+ 16 + 65 = 81^4 + 4 \cdot 81^3 \cdot 2 + 6 \cdot 81^2 \cdot 4 + 4 \cdot 81 \cdot 8 + 81 \)
так как каждый член многочлена делится на 81, то и всё выражение делится на 81.
б) \(141^{10} + 88 = (139 + 2)^{10} + 88\) — получится то же самое, что и в первом выражении: все члены будут иметь число 139, значит, кратны 139, кроме последнего.
\(2^{10} + 88 = 1024 + 88 = 1112 = 139 \cdot 8\) — значит и всё выражение делится на 139.
а) Рассмотрим выражение \(83^4 + 65\). Чтобы упростить его и проверить делимость, представим число 83 в виде суммы \(81 + 2\), где 81 — это степень числа 3 (так как \(81 = 3^4\)), что поможет использовать биномиальную формулу для разложения степени. Запишем это как \((81 + 2)^4 + 65\). Раскроем степень по формуле бинома Ньютона:
\((81 + 2)^4 = 81^4 + 4 \cdot 81^3 \cdot 2 + 6 \cdot 81^2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 81 \cdot 2^3 + 2^4\).
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
\(83^4 + 65 = 81^4 + 4 \cdot 81^3 \cdot 2 + 6 \cdot 81^2 \cdot 4 + 4 \cdot 81 \cdot 8 + 16 + 65\).
Обратим внимание, что все слагаемые, кроме последних двух, содержат множитель 81 в разных степенях, следовательно, они делятся на 81 без остатка. Сложим последние два числа: \(16 + 65 = 81\), что также делится на 81. Значит, сумма всех слагаемых делится на 81, и, следовательно, всё выражение \(83^4 + 65\) делится на 81.
б) Рассмотрим выражение \(141^{10} + 88\). Аналогично первому пункту, представим число 141 как сумму \(139 + 2\), где 139 — число, на которое будем проверять делимость. Запишем:
\((139 + 2)^{10} + 88\).
Раскроем степень по формуле бинома Ньютона. Все члены разложения, кроме последнего, будут содержать множитель 139 в некоторой степени, так как каждый член имеет вид \(C_{10}^k \cdot 139^{10-k} \cdot 2^k\), где \(10-k \geq 1\) для всех кроме последнего. Значит, все эти члены делятся на 139.
Остается проверить делимость суммы последних двух слагаемых: \(2^{10} + 88\). Вычислим:
\(2^{10} = 1024\), следовательно, \(2^{10} + 88 = 1024 + 88 = 1112\).
Проверим, делится ли 1112 на 139:
\(1112 \div 139 = 8\), так как \(139 \cdot 8 = 1112\).
Значит, сумма \(2^{10} + 88\) делится на 139, и, следовательно, всё выражение \(141^{10} + 88\) делится на 139.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!