ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 986 Макарычев — Подробные Ответы

Представьте в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена:
а) \(a^4 — 8a^2 + 16;\)
б) \(-4 — 4b — b^2;\)
в) \(10x — x^2 — 25;\)
г) \(c^4 d^2 + 1 — 2c^2 d;\)
д) \(a^6 b^2 + 12a^3 b + 36;\)
е) \(x + 1 + \frac{1}{4} x^2;\)
ж) \(y — y^2 — 0,25;\)
з) \(9 — m + \frac{1}{36} m^2;\)
и) \(-25 — 2n — 0,04 n^2.\)

а) \(a^4 — 8a^2 + 16 = (a^2 — 4)^2\)
Это разложение на полный квадрат: \(a^4 — 8a^2 + 16 = (a^2)^2 — 2 \cdot a^2 \cdot 4 + 4^2\).

б) \(-4 — 4b — b^2 = -(4 + 4b + b^2) = -(2 + b)^2\)
Вынесли минус и распознали полный квадрат: \(4 + 4b + b^2 = (2 + b)^2\).

в) \(10x — x^2 — 25 = -(x^2 — 10x + 25) = -(x — 5)^2\)
Вынесли минус, внутри полный квадрат: \(x^2 — 10x + 25 = (x — 5)^2\).

г) \(c^4 d^2 + 1 — 2c^2 d = c^4 d^2 — 2c^2 d + 1 = (c^2 d — 1)^2\)
Распознали полный квадрат: \(c^4 d^2 — 2c^2 d + 1 = (c^2 d — 1)^2\).

д) \(a^6 b^2 + 12 a^3 b + 36 = (a^3 b + 6)^2\)
Это полный квадрат: \((a^3 b)^2 + 2 \cdot a^3 b \cdot 6 + 6^2\).

е) \(x + 1 + \frac{1}{4} x^2 = 1 + x + \frac{1}{4} x^2 = \left(1 + \frac{1}{2} x\right)^2\)
Переставили слагаемые и распознали полный квадрат.

ж) \(y — y^2 — 0{,}25 = -(y^2 — y + 0{,}25) = -(y — 0{,}5)^2\)
Вынесли минус, внутри полный квадрат: \(y^2 — y + 0{,}25 = (y — 0{,}5)^2\).

з) \(9 — m + \frac{1}{36} m^2 = \left(3 — \frac{1}{6} m\right)^2\)
Это полный квадрат: \(3^2 — 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{6} m + \left(\frac{1}{6} m\right)^2\).

и) \(-25 — 2n — 0{,}04 n^2 = -(25 + 2n + 0{,}04 n^2) = -(5 + 0{,}2 n)^2\)
Вынесли минус, внутри полный квадрат: \(25 + 2n + 0{,}04 n^2 = (5 + 0{,}2 n)^2\).

а) Выражение \(a^4 — 8a^2 + 16\) представляет собой многочлен четвертой степени, который можно преобразовать в квадрат двучлена. Для этого нужно заметить, что \(a^4 = (a^2)^2\), а число 16 — это квадрат числа 4, то есть \(16 = 4^2\). Средний член \(-8a^2\) равен удвоенному произведению \(a^2\) и 4 с отрицательным знаком: \(-8a^2 = -2 \cdot a^2 \cdot 4\). Таким образом, выражение совпадает с формулой полного квадрата разности: \((a^2 — 4)^2 = (a^2)^2 — 2 \cdot a^2 \cdot 4 + 4^2\).

Следовательно, исходное выражение можно записать как квадрат двучлена: \(a^4 — 8a^2 + 16 = (a^2 — 4)^2\). Это упрощение полезно для дальнейших преобразований, например, при решении уравнений или при факторизации.

б) В выражении \(-4 — 4b — b^2\) сначала вынесем минус за скобки, чтобы получить более привычный вид: \(- (4 + 4b + b^2)\). Внутри скобок находится сумма, которую можно представить как квадрат суммы: \(4 + 4b + b^2 = (2 + b)^2\). Это видно, если разложить полный квадрат двучлена: \((2 + b)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot b + b^2 = 4 + 4b + b^2\).

Таким образом, исходное выражение эквивалентно \(- (2 + b)^2\). Это преобразование упрощает работу с выражением, например, при решении уравнений или упрощении алгебраических выражений.

в) Рассмотрим выражение \(10x — x^2 — 25\). Чтобы привести его к квадрату двучлена, сначала вынесем минус, чтобы получить стандартный вид квадрата: \(- (x^2 — 10x + 25)\). Внутри скобок мы видим квадратный трехчлен, который можно представить как полный квадрат разности: \((x — 5)^2 = x^2 — 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 — 10x + 25\).

Таким образом, выражение можно переписать как \(- (x — 5)^2\). Это упрощение полезно для решения уравнений, анализа функции или дальнейших преобразований.

г) В выражении \(c^4 d^2 + 1 — 2 c^2 d\) обратим внимание, что \(c^4 d^2 = (c^2 d)^2\), а 1 — это квадрат единицы. Средний член \(- 2 c^2 d\) равен удвоенному произведению \(c^2 d\) и 1 с отрицательным знаком. Это соответствует формуле полного квадрата разности: \((c^2 d — 1)^2 = (c^2 d)^2 — 2 \cdot c^2 d \cdot 1 + 1^2\).

Следовательно, исходное выражение можно представить как квадрат двучлена: \((c^2 d — 1)^2\). Это упрощение облегчает дальнейшие вычисления и анализ выражения.

д) Рассмотрим многочлен \(a^6 b^2 + 12 a^3 b + 36\). Здесь \(a^6 b^2 = (a^3 b)^2\), а 36 — это квадрат числа 6. Средний член 12 \(a^3 b\) равен удвоенному произведению \(a^3 b\) и 6. Это совпадает с формулой полного квадрата суммы: \((a^3 b + 6)^2 = (a^3 b)^2 + 2 \cdot a^3 b \cdot 6 + 6^2\).

Таким образом, данное выражение равно \((a^3 b + 6)^2\). Это позволяет упростить выражение и использовать его в дальнейших вычислениях.

е) В выражении \(x + 1 + \frac{1}{4} x^2\) переставим слагаемые для удобства: \(1 + x + \frac{1}{4} x^2\). Обратим внимание, что это можно представить как полный квадрат суммы: \(\left(1 + \frac{1}{2} x\right)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} x + \left(\frac{1}{2} x\right)^2 = 1 + x + \frac{1}{4} x^2\).

Таким образом, исходное выражение равно \(\left(1 + \frac{1}{2} x\right)^2\). Это преобразование упрощает работу с выражением и помогает при решении задач.

ж) Выражение \(y — y^2 — 0{,}25\) можно переписать, вынеся минус: \(- (y^2 — y + 0{,}25)\). Внутри скобок находится квадрат двучлена: \((y — 0{,}5)^2 = y^2 — 2 \cdot y \cdot 0{,}5 + 0{,}5^2 = y^2 — y + 0{,}25\).

Поэтому исходное выражение равно \(- (y — 0{,}5)^2\). Это позволяет упростить выражение и использовать свойства квадратов.

з) Рассмотрим выражение \(9 — m + \frac{1}{36} m^2\). Его можно представить как полный квадрат: \(\left(3 — \frac{1}{6} m\right)^2 = 3^2 — 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{6} m + \left(\frac{1}{6} m\right)^2 = 9 — m + \frac{1}{36} m^2\).

Это преобразование позволяет упростить исходное выражение и использовать его в дальнейших расчетах.

и) В выражении \(-25 — 2n — 0{,}04 n^2\) вынесем минус: \(- (25 + 2n + 0{,}04 n^2)\). Внутри скобок находится полный квадрат суммы: \((5 + 0{,}2 n)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 0{,}2 n + (0{,}2 n)^2 = 25 + 2n + 0{,}04 n^2\).

Таким образом, исходное выражение равно \(- (5 + 0{,}2 n)^2\), что значительно упрощает работу с ним.