ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 990 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:
а) \((x — 8)(x + 8) — (x — 12)(x + 12);\)
б) \(\left(y — \frac{5}{9}\right)\left(y + \frac{5}{9}\right) + \left(\frac{2}{3} — y\right)\left(\frac{2}{3} + y\right).\)

а) \((x-8)(x+8) — (x-12)(x+12) = x^2 — 64 — (x^2 — 144) =\) \(= x^2 — 64 — x^2 + 144 = 80\).

б) \(\left(y — \frac{5}{9}\right)\left(y + \frac{5}{9}\right) + \left(\frac{2}{3} — y\right)\left(\frac{2}{3} + y\right) = y^2 — \frac{25}{81} + \frac{4}{9} — y^2 =\) \(= -\frac{25}{81} + \frac{36}{81} = \frac{11}{81}\).

а) Рассмотрим выражение \((x-8)(x+8) — (x-12)(x+12)\). Здесь мы видим разность двух произведений, каждое из которых представляет собой разность квадратов, так как \((a-b)(a+b) = a^2 — b^2\). Применим это к каждому множителю: первое произведение равно \(x^2 — 8^2 = x^2 — 64\), второе — \(x^2 — 12^2 = x^2 — 144\).

Теперь подставим эти выражения обратно: \((x^2 — 64) — (x^2 — 144)\). Раскрываем скобки со знаком минус перед вторым выражением, меняя знаки: \(x^2 — 64 — x^2 + 144\). Сложим подобные члены: \(x^2 — x^2 = 0\), а \(-64 + 144 = 80\). В итоге получаем результат равный \(80\).

Таким образом, исходное выражение упрощается до \(80\), что и было необходимо показать.

б) Рассмотрим выражение \(\left(y — \frac{5}{9}\right)\left(y + \frac{5}{9}\right) + \left(\frac{2}{3} — y\right)\left(\frac{2}{3} + y\right)\). Каждое произведение — это разность квадратов, так как \((a-b)(a+b) = a^2 — b^2\). Для первого множителя это будет \(y^2 — \left(\frac{5}{9}\right)^2\), для второго — \(\left(\frac{2}{3}\right)^2 — y^2\).

Вычислим квадраты дробей: \(\left(\frac{5}{9}\right)^2 = \frac{25}{81}\), \(\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\). Подставим: \(y^2 — \frac{25}{81} + \frac{4}{9} — y^2\). Заметим, что \(y^2\) и \(-y^2\) взаимно уничтожаются, поэтому остается \(-\frac{25}{81} + \frac{4}{9}\).

Для сложения приведем дроби к общему знаменателю \(81\): \(\frac{4}{9} = \frac{36}{81}\). Теперь выражение равно \(-\frac{25}{81} + \frac{36}{81} = \frac{11}{81}\).

Итоговое значение выражения равно \(\frac{11}{81}\), что подтверждает правильность преобразований.