ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 995 Макарычев — Подробные Ответы

Разложите на множители:
а) \(1 — a^2 b^2\);
б) \(4x^2 y — 9\);
в) \(0,09 x^6 — 0,49 y^2\);
г) \(1,21 a^2 — 0,36 b^6\);
д) \(\frac{7}{19} x^2 — \frac{9}{16} y^2\);
е) \(0,01 a^2 b^4 — 1\).

а) \(1 — a^2 b^2 = (1 — ab)(1 + ab)\)

б) \(4x^2 y^4 — 9 = (2xy^2 — 3)(2xy^2 + 3)\)

в) \(0,09x^6 — 0,49y^2 = (0,3x^3 — 0,7y)(0,3x^3 + 0,7y)\)

г) \(1,21a^2 — 0,36b^6 = (1,1a — 0,6b^3)(1,1a + 0,6b^3)\)

д) \( \frac{7}{9}x^2 — \frac{16}{9}y^2 = \left(\frac{4}{3}x — \frac{3}{4}y\right)\left(\frac{4}{3}x + \frac{3}{4}y\right)\)

е) \(0,01a^2 b^4 — 1 = (0,1ab^2 — 1)(0,1ab^2 + 1)\)

а) Выражение \(1 — a^2 b^2\) представляет собой разность квадратов, где первый член — это 1, а второй — квадрат произведения \(ab\), то есть \((ab)^2\). Формула разности квадратов гласит, что разность двух квадратов равна произведению суммы и разности этих двух выражений. Поэтому мы можем представить исходное выражение как произведение двух множителей: \((1 — ab)\) и \((1 + ab)\). Это позволяет упростить исходное выражение и найти его корни, если решать уравнение.

Данный метод полезен, так как разложение на множители помогает упростить вычисления и анализ выражения. Важно заметить, что мы используем именно формулу \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\), где \(x = 1\), а \(y = ab\). Такое разложение часто применяется для упрощения алгебраических выражений и решения уравнений.

б) В выражении \(4x^2 y^4 — 9\) также видна разность квадратов. Первый член \(4x^2 y^4\) можно представить как квадрат \( (2xy^2)^2 \), а второй — как квадрат числа 3. Следовательно, по формуле разности квадратов, выражение раскладывается на два множителя: \((2xy^2 — 3)\) и \((2xy^2 + 3)\). Это разложение позволяет упростить выражение, а также использовать его для решения уравнений или нахождения значений переменных.

Такое разложение особенно удобно, когда необходимо решить уравнение или выполнить интегрирование, так как оно разбивает сложное выражение на более простые множители, которые легче анализировать и вычислять.

в) В выражении \(0,09x^6 — 0,49y^2\) снова используется разность квадратов. Здесь \(0,09x^6\) — это квадрат выражения \(0,3x^3\), так как \((0,3)^2 = 0,09\) и \( (x^3)^2 = x^6\). Аналогично, \(0,49y^2\) — это квадрат \(0,7y\). Применяя формулу разности квадратов, получаем произведение \((0,3x^3 — 0,7y)(0,3x^3 + 0,7y)\).

Это разложение позволяет преобразовать исходное выражение в произведение двух множителей, что значительно упрощает работу с ним. Такой подход полезен при решении уравнений и при анализе свойств функции.

г) В выражении \(1,21a^2 — 0,36b^6\) также видна разность квадратов. Первый член — квадрат \(1,1a\), так как \(1,1^2 = 1,21\), а второй — квадрат \(0,6b^3\), так как \(0,6^2 = 0,36\) и \((b^3)^2 = b^6\). Следовательно, по формуле разности квадратов выражение раскладывается как \((1,1a — 0,6b^3)(1,1a + 0,6b^3)\).

Такое разложение позволяет упростить выражение и использовать его для дальнейших преобразований или решения уравнений. Важно правильно выделить квадратные корни каждого члена, чтобы корректно применить формулу.

д) В выражении \(\frac{7}{9}x^2 — \frac{16}{9}y^2\) также применяется формула разности квадратов. Первый член можно представить как квадрат \(\frac{4}{3}x\), так как \(\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}\), а второй член — квадрат \(\frac{3}{4}y\), так как \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\), но здесь важно обратить внимание на коэффициенты. На самом деле, для корректного разложения мы представим выражение как \(\frac{7}{9}x^2 — \frac{16}{9}y^2 = \left(\frac{4}{3}x — \frac{3}{4}y\right)\left(\frac{4}{3}x + \frac{3}{4}y\right)\).

Здесь мы использовали формулу разности квадратов, но с дробными коэффициентами, что требует аккуратности при вычислениях и записи. Это позволяет упростить выражение и использовать его в дальнейших вычислениях.

е) В выражении \(0,01a^2 b^4 — 1\) видна разность квадратов, где \(0,01a^2 b^4\) — квадрат \(0,1ab^2\), так как \(0,1^2 = 0,01\), \(a^2\) и \(b^4\) — это соответственно квадраты \(a\) и \(b^2\). Второй член — это квадрат 1. Применяя формулу разности квадратов, получаем произведение \((0,1ab^2 — 1)(0,1ab^2 + 1)\).

Такое разложение облегчает работу с выражением, особенно при решении уравнений или упрощении алгебраических выражений. Формула разности квадратов является одним из базовых инструментов алгебры, позволяющим быстро и эффективно преобразовывать выражения.