ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 997 Макарычев — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения:
а) \(x^{10} — 1\);
б) \(y^{12} — 16\);
в) \(a^2 x^8 — 81\);
г) \(36 — b^4 y^6\);
д) \(25 p^4 q — 1\);
е) \(-9 + 121 m^8 n^8\);
ж) \(0,01 x^{16} — 0,16\);
з) \(1,69 y^{14} — 1,21\);
и) \(\frac{4}{9} m^6 — \frac{25}{36}\).

а) \(x^{10} — 1 = (x^5 — 1)(x^5 + 1)\)

б) \(y^{12} — 16 = (y^6 — 4)(y^6 + 4)\)

в) \(a^2 x^8 — 81 = (a x^4 — 9)(a x^4 + 9)\)

г) \(36 — b^4 y^6 = (6 — b^2 y^3)(6 + b^2 y^3)\)

д) \(25 p^4 q^4 — 1 = (5 p^2 q^2 — 1)(5 p^2 q^2 + 1)\)

е) \(-9 + 121 m^8 n^8 = (11 m^4 n^4 — 3)(11 m^4 n^4 + 3)\)

ж) \(0,01 x^{16} — 0,16 = (0,1 x^8 — 0,4)(0,1 x^8 + 0,4)\)

з) \(1,69 y^{14} — 1,21 = (1,3 y^7 — 1,1)(1,3 y^7 + 1,1)\)

и) \(\frac{4}{9} m^6 — \frac{25}{36} = \left(\frac{2}{3} m^3 — \frac{5}{6}\right)\left(\frac{2}{3} m^3 + \frac{5}{6}\right)\)

а) Выражение \(x^{10} — 1\) представляет собой разность двух степеней, где первая степень — \(x^{10}\), а вторая — \(1\), что равняется \(1^{10}\). По формуле разности степеней \(a^{2n} — b^{2n} = (a^n — b^n)(a^n + b^n)\), здесь \(a = x^5\), \(b = 1\), \(n = 2\). Поэтому можно разложить как произведение разности и суммы степеней пятой степени: \(x^{10} — 1 = (x^5 — 1)(x^5 + 1)\). Это упрощение полезно для дальнейших преобразований или нахождения корней.

Такое разложение позволяет представить исходное выражение в виде произведения двух множителей, каждый из которых проще по степени и может быть дополнительно разложен, если это необходимо. Для \(x^5 — 1\) и \(x^5 + 1\) существуют свои формулы разложения, но в данном случае остановились на первом шаге, выделив разность квадратов.

б) В выражении \(y^{12} — 16\) мы видим разность степеней: \(y^{12}\) и \(16\), где \(16 = 4^2\). Можно представить \(y^{12}\) как \((y^6)^2\), а \(16\) — как \(4^2\). Тогда по формуле разности квадратов \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\) получаем разложение: \(y^{12} — 16 = (y^6 — 4)(y^6 + 4)\). Это позволяет упростить выражение, разбив его на более простые множители.

Дальнейшее разложение возможно, если \(y^6 — 4\) или \(y^6 + 4\) можно представить как разность или сумму квадратов, но здесь остановились на первом шаге, выделив явные множители.

в) В выражении \(a^2 x^8 — 81\) заметим, что \(a^2 x^8 = (a x^4)^2\), а \(81 = 9^2\). По формуле разности квадратов \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\) имеем: \(a^2 x^8 — 81 = (a x^4 — 9)(a x^4 + 9)\). Это разложение упрощает исходное выражение, позволяя работать с меньшими степенями.

Такое преобразование полезно для решения уравнений или для упрощения алгебраических выражений, так как разложение на множители часто облегчает вычисления и анализ.

г) Выражение \(36 — b^4 y^6\) можно представить как разность квадратов, если переписать \(36 = 6^2\), а \(b^4 y^6 = (b^2 y^3)^2\). Тогда по формуле разности квадратов: \(36 — b^4 y^6 = (6 — b^2 y^3)(6 + b^2 y^3)\). Это классический способ разложения, который упрощает исходное выражение.

Такое разложение помогает выявить структуру выражения и подготовить его к дальнейшему анализу или решению уравнений, где эти множители играют роль.

д) В выражении \(25 p^4 q^4 — 1\) заметим, что \(25 p^4 q^4 = (5 p^2 q^2)^2\), а \(1 = 1^2\). Используя формулу разности квадратов, получаем: \(25 p^4 q^4 — 1 = (5 p^2 q^2 — 1)(5 p^2 q^2 + 1)\). Это разложение упрощает работу с выражением, разбивая его на множители меньшей степени.

Такой подход часто используется для решения уравнений или для упрощения больших степеней, позволяя выделить ключевые множители.

е) В выражении \(-9 + 121 m^8 n^8\) сначала поменяем порядок слагаемых для удобства: \(121 m^8 n^8 — 9\). Здесь \(121 m^8 n^8 = (11 m^4 n^4)^2\), а \(9 = 3^2\). По формуле разности квадратов: \(121 m^8 n^8 — 9 = (11 m^4 n^4 — 3)(11 m^4 n^4 + 3)\). Это позволяет представить исходное выражение в виде произведения двух множителей.

Такое разложение упрощает решение уравнений и анализ выражений, разбивая сложные степени на более простые компоненты.

ж) В выражении \(0,01 x^{16} — 0,16\) можно представить числа в виде квадратов: \(0,01 = (0,1)^2\), \(0,16 = (0,4)^2\), а \(x^{16} = (x^8)^2\). Тогда по формуле разности квадратов: \(0,01 x^{16} — 0,16 = (0,1 x^8 — 0,4)(0,1 x^8 + 0,4)\). Это разложение уменьшает степень переменной, делая выражение проще для дальнейших действий.

Такой подход часто используется при работе с степенями и дробными коэффициентами, облегчая вычисления и анализ.

з) В выражении \(1,69 y^{14} — 1,21\) представим числа как квадраты: \(1,69 = (1,3)^2\), \(1,21 = (1,1)^2\), а \(y^{14} = (y^7)^2\). Применяя формулу разности квадратов, получаем: \(1,69 y^{14} — 1,21 = (1,3 y^7 — 1,1)(1,3 y^7 + 1,1)\). Это упрощение разбивает выражение на два множителя с меньшими степенями.

Такое разложение полезно для упрощения выражений и решения уравнений, где необходимо работать с большими степенями.

и) В выражении \(\frac{4}{9} m^6 — \frac{25}{36}\) заметим, что \(\frac{4}{9} m^6 = \left(\frac{2}{3} m^3\right)^2\), а \(\frac{25}{36} = \left(\frac{5}{6}\right)^2\). По формуле разности квадратов: \(\frac{4}{9} m^6 — \frac{25}{36} = \left(\frac{2}{3} m^3 — \frac{5}{6}\right)\left(\frac{2}{3} m^3 + \frac{5}{6}\right)\). Это позволяет выразить исходное выражение как произведение двух скобок с меньшими степенями и рациональными коэффициентами.

Такое разложение часто используется для упрощения дробных выражений и решения уравнений, облегчая работу с рациональными числами и степенями.