Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 998 Макарычев — Подробные Ответы
Разложите на множители:
а) \((x — 5)^2 — 16\);
б) \((b + 7)^2 — 9\);
в) \(25 — (3 — x)^2\);
г) \(81 — (a + 7)^2\);
д) \((7x — 4)^2 — (2x + 1)^2\);
е) \((n — 2)^2 — (3n + 1)^2\);
ж) \(9(a + 1)^2 — 1\);
з) \(4 — 25(x — 3)^2\).
а) \((x-5)^2 — 16 = (x-5)^2 — 4^2 = (x-5-4)(x-5+4) =\) \(= (x-9)(x-1)\)
б) \((b+7)^2 — 9 = (b+7)^2 — 3^2 = (b+7-3)(b+7+3) =\) \(= (b+4)(b+10)\)
в) \(25 — (3-x)^2 = 5^2 — (3-x)^2 = (5-3+x)(5+3-x) =\) \(= (2+x)(8-x)\)
г) \(81 — (a+7)^2 = 9^2 — (a+7)^2 = (9 — a — 7)(9 + a + 7) =\) \(= (2 — a)(16 + a)\)
д) \((7x-4)^2 — (2x+1)^2 = (7x-4 — 2x — 1)(7x-4 + 2x + 1) =\) \(= (5x — 5)(9x — 3) = 5(x-1) \cdot 3(3x-1) = 15(x-1)(3x-1)\)
е) \((n-2)^2 — (3n+1)^2 = (n-2 — 3n — 1)(n-2 + 3n + 1) =\) \(= (-2n — 3)(4n — 1)\)
ж) \((3a+3)^2 — 1 = (3a+3)^2 — 1^2 = (3a+3 — 1)(3a+3 + 1) =\) \(= (3a+2)(3a+4)\)
з) \(4 — 25(x-3)^2 = 2^2 — 5^2 \cdot (x-3)^2 = 2^2 — (5x — 15)^2 =\) \(= (2 — 5x + 15)(2 + 5x — 15) = (17 — 5x)(5x — 13)\)
а) Начинаем с выражения \((x-5)^2 — 16\). Здесь мы видим разность квадратов, так как \(16 = 4^2\). Формула разности квадратов гласит, что \(a^2 — b^2 = (a-b)(a+b)\). В нашем случае \(a = x-5\), \(b = 4\). Применяем формулу: \((x-5)^2 — 4^2 = (x-5-4)(x-5+4)\). Далее упрощаем скобки: \(x-5-4 = x-9\), \(x-5+4 = x-1\). В итоге получаем произведение \((x-9)(x-1)\).
Этот метод позволяет упростить выражение, заменяя разность квадратов на произведение двух линейных выражений. Это удобно для дальнейших вычислений или решения уравнений.
б) Рассматриваем \((b+7)^2 — 9\). Здесь также разность квадратов, так как \(9 = 3^2\). Подставляем в формулу: \((b+7)^2 — 3^2 = (b+7-3)(b+7+3)\). Упрощаем каждую скобку: \(b+7-3 = b+4\), \(b+7+3 = b+10\). Итоговое разложение — \((b+4)(b+10)\).
Использование формулы разности квадратов помогает быстро преобразовать выражение в произведение, что облегчает анализ и вычисления.
в) Выражение \(25 — (3-x)^2\) также подходит под разность квадратов, так как \(25 = 5^2\). Переписываем: \(5^2 — (3-x)^2\). Применяем формулу: \((5 — (3-x))(5 + (3-x))\). Раскрываем скобки: \(5 — 3 + x = 2 + x\), \(5 + 3 — x = 8 — x\). Получаем произведение \((2+x)(8-x)\).
Этот приём позволяет заменить разность квадратов на произведение двух выражений, что упрощает работу с уравнениями и алгебраическими преобразованиями.
г) В выражении \(81 — (a+7)^2\) \(81 = 9^2\), значит, снова разность квадратов. Записываем: \(9^2 — (a+7)^2\). По формуле: \((9 — (a+7))(9 + (a+7))\). Раскрываем: \(9 — a — 7 = 2 — a\), \(9 + a + 7 = 16 + a\). Итог — произведение \((2 — a)(16 + a)\).
Такое разложение помогает упростить выражение и подготовить его для дальнейших действий, например, для нахождения корней.
д) Здесь \((7x-4)^2 — (2x+1)^2\) — разность квадратов. По формуле: \((7x-4 — (2x+1))(7x-4 + (2x+1))\). Упрощаем: \(7x-4 — 2x — 1 = 5x — 5\), \(7x-4 + 2x + 1 = 9x — 3\). Получаем \((5x-5)(9x-3)\). Далее выносим общий множитель: \(5(x-1)\) и \(3(3x-1)\). Итог: \(15(x-1)(3x-1)\).
Этот способ позволяет не только разложить разность квадратов, но и дополнительно упростить выражение, выделив множители.
е) Рассмотрим \((n-2)^2 — (3n+1)^2\). Опять разность квадратов: \((n-2 — (3n+1))(n-2 + (3n+1))\). Упрощаем: \(n — 2 — 3n — 1 = -2n — 3\), \(n — 2 + 3n + 1 = 4n — 1\). Итоговое разложение — \((-2n — 3)(4n — 1)\).
Такое разложение облегчает дальнейшие преобразования и решение уравнений, где встречается данное выражение.
ж) Выражение \((3a+3)^2 — 1\) — разность квадратов, так как \(1 = 1^2\). Применяем формулу: \((3a+3 — 1)(3a+3 + 1)\). Упрощаем: \(3a + 2\) и \(3a + 4\). Итог: \((3a+2)(3a+4)\).
Этот приём позволяет заменить квадратное выражение на произведение двух линейных множителей, что упрощает вычисления.
з) Рассмотрим \(4 — 25(x-3)^2\). Здесь \(4 = 2^2\), \(25(x-3)^2 = (5(x-3))^2\), значит, разность квадратов: \(2^2 — (5(x-3))^2\). Применяем формулу: \((2 — 5(x-3))(2 + 5(x-3))\). Раскрываем скобки: \(2 — 5x + 15 = 17 — 5x\), \(2 + 5x — 15 = 5x — 13\). Итог — произведение \((17 — 5x)(5x — 13)\).
Такое разложение полезно для упрощения выражений и решения уравнений, где встречаются квадраты сложных выражений.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!