ГДЗ по Алгебре 8 Класс Контрольные вопросы и задания Параграф 1 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

1 Приведите примеры целых выражений; дробных выражений.

2 Какую дробь называют рациональной? Приведите пример.

3 Дайте определение тождества. Приведите пример.

4 Сформулируйте и докажите основное свойство дроби.

5 Сформулируйте правило об изменении знака перед дробью.

1 Целые выражения: \(3x-5\), \(2a^2b+7\). Дробные выражения: \(\frac{2x+1}{x-3}\), \(\frac{5}{a+b}\). Кратко: целые не содержат переменную в знаменателе, дробные содержат.

2 Рациональной называют дробь вида \(\frac{P}{Q}\), где \(P\) и \(Q\) — многочлены, \(Q\neq 0\). Пример: \(\frac{x^2-1}{x+1}\). Кратко: числитель и знаменатель — многочлены, знаменатель не равен нулю.

3 Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях переменных. Пример: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Кратко: подстановка любых допустимых значений сохраняет равенство.

4 Основное свойство дроби: если \(b\neq 0\) и \(k\neq 0\), то \(\frac{a}{b}=\frac{ak}{bk}\). Доказательство кратко: \(\frac{ak}{bk}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}=\frac{a}{b}\cdot\frac{k}{k}=\frac{a}{b}\cdot 1=\frac{a}{b}\), так как \(\frac{k}{k}=1\) при \(k\neq 0\).

5 Правило изменения знака перед дробью: \(-\frac{a}{b}=\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}\), при \(b\neq 0\). Кратко: минус можно переносить из знака перед дробью в числитель или в знаменатель.

1 Целыми называют такие алгебраические выражения, в которых переменная не стоит в знаменателе, то есть нет деления на выражение с буквами. Например, \(3x-5\) и \(2a^2b+7\) — целые: здесь есть только сложение, вычитание и умножение (степени тоже допустимы), а деления на выражение с переменными нет. Даже если встречается число в виде дроби, например \(\frac{1}{2}x\), выражение остаётся целым, потому что деление выполнено только на число, а не на выражение с переменной.

Дробными называют выражения, в которых переменная (или выражение с переменной) находится в знаменателе. Примеры: \(\frac{2x+1}{x-3}\) и \(\frac{5}{a+b}\). Они дробные, потому что при некоторых значениях переменных знаменатель может обращаться в ноль, и тогда выражение теряет смысл: для \(\frac{2x+1}{x-3}\) нельзя брать \(x=3\), а для \(\frac{5}{a+b}\) нельзя брать значения, где \(a+b=0\). Поэтому при работе с дробными выражениями всегда важно указывать область допустимых значений, где знаменатель не равен нулю.

2 Рациональной дробью называют дробь вида \(\frac{P}{Q}\), где \(P\) и \(Q\) — многочлены, а \(Q\neq 0\). То есть в числителе и знаменателе стоят именно многочлены (суммы одночленов), а деление происходит на многочлен, который не должен обращаться в ноль. Пример: \(\frac{x^2-1}{x+1}\) — рациональная дробь, потому что \(x^2-1\) и \(x+1\) являются многочленами, и дополнительно требуется условие \(x+1\neq 0\), то есть \(x\neq -1\).

Смысл такого определения в том, что рациональная дробь строится из многочленов с помощью операции деления, а вся «проблема» рациональной дроби сосредоточена в знаменателе: он не может быть равен нулю. Например, выражение \(\frac{5}{a+b}\) тоже рациональная дробь (числитель — многочлен \(5\), знаменатель — многочлен \(a+b\)), и область допустимых значений задаётся условием \(a+b\neq 0\). Многие преобразования рациональных дробей (сокращение, приведение к общему знаменателю) опираются на свойства многочленов и на то, что запрещено делить на ноль.

3 Тождеством называют равенство, которое истинно при всех допустимых значениях переменных (то есть при всех значениях, где обе части выражения определены). Например, \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) — тождество: какую бы пару чисел ни подставить вместо \(a\) и \(b\), левая и правая части дадут одно и то же значение. Здесь нет ограничений вида «знаменатель не равен нулю», поэтому допустимы все значения \(a\) и \(b\).

Проверка идеи тождества основана не на одной подстановке, а на том, что равенство следует из правил преобразований. Например, раскрывая скобки, получаем \((a+b)^2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\), и это рассуждение верно для любых \(a\) и \(b\). Важно отличать тождество от уравнения: уравнение может быть верным только при некоторых значениях переменных, а тождество — при всех допустимых.

4 Основное свойство дроби формулируют так: если \(b\neq 0\) и \(k\neq 0\), то \(\frac{a}{b}=\frac{ak}{bk}\). Это означает, что если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же ненулевое число (или вообще ненулевое выражение), значение дроби не изменится. Например, \(\frac{3}{5}=\frac{3\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{6}{10}\): дробь стала выглядеть иначе, но число то же самое.

Доказательство опирается на то, что \(\frac{k}{k}=1\) при \(k\neq 0\). Тогда \(\frac{ak}{bk}=\frac{a}{b}\cdot\frac{k}{k}=\frac{a}{b}\cdot 1=\frac{a}{b}\). Запрет \(k\neq 0\) необходим, потому что при \(k=0\) выражение \(\frac{k}{k}\) превращается в \(\frac{0}{0}\), а это не имеет смысла. Это свойство используется для сокращения дробей: если в числителе и знаменателе есть общий ненулевой множитель \(k\), то \(\frac{ak}{bk}=\frac{a}{b}\), что позволяет «убрать» общий множитель из обеих частей дроби.

5 Правило изменения знака перед дробью говорит, что минус можно переносить внутрь дроби: \(-\frac{a}{b}=\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}\) при \(b\neq 0\). То есть отрицание дроби можно оформить тремя равносильными способами: поставить минус перед всей дробью, сделать отрицательным числитель или сделать отрицательным знаменатель. Например, \(-\frac{3}{5}=\frac{-3}{5}=\frac{3}{-5}\), и все эти записи обозначают одно и то же число.

Объяснение связано со свойством умножения на \(-1\): \(-\frac{a}{b}=(-1)\cdot\frac{a}{b}=\frac{(-1)\cdot a}{b}=\frac{-a}{b}\). Аналогично можно «перенести» минус в знаменатель, потому что \(\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}\): числитель и знаменатель одновременно умножены на \(-1\), а по основному свойству дроби значение не меняется, так как \(-1\neq 0\). Это правило особенно удобно при упрощении выражений: например, \(\frac{-2x}{-3}=\frac{2x}{3}\), потому что два минуса сокращаются, и дробь становится положительной.