ГДЗ по Алгебре 8 Класс Контрольные вопросы и задания Параграф 10 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

1. Что является решением уравнения с двумя переменными?

2. Можно ли, не решая систему линейных уравнений, сказать, сколько она имеет решений?

3. Какие существуют способы решения систем уравнений?

1 Решением уравнения с двумя переменными является упорядоченная пара чисел \( (x; y) \), которая при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

2 Да, можно. Не решая систему линейных уравнений, можно определить количество решений, проанализировав коэффициенты уравнений. Если система имеет вид \( a_1 x + b_1 y = c_1 \) и \( a_2 x + b_2 y = c_2 \), то:

— если \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \), система имеет одно решение (прямые пересекаются);

— если \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \), система имеет бесконечно много решений (прямые совпадают);

— если \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \), система не имеет решений (прямые параллельны).

3 Основные способы решения систем уравнений:

— метод подстановки: из одного уравнения выражают одну переменную через другую и подставляют в второе уравнение;

— метод сложения (вычитания): уравнения складывают или вычитают так, чтобы исключить одну из переменных;

— графический метод: строят графики обоих уравнений и находят координаты точек пересечения;

— метод определителей (для линейных систем): используют формулы Крамера с применением определителей матриц.

1) Решением уравнения с двумя переменными является упорядоченная пара чисел \( (x; y) \), которая при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство. Например, для уравнения \( 2x + y = 5 \) пара чисел \( (1; 3) \) является решением, так как при подстановке получаем \( 2 \cdot 1 + 3 = 5 \), что верно. Аналогично пара \( (2; 1) \) также является решением этого уравнения, поскольку \( 2 \cdot 2 + 1 = 5 \).

Уравнение с двумя переменными обычно имеет не одно, а множество решений. Все решения уравнения можно представить геометрически как точки на плоскости, которые лежат на графике этого уравнения. Например, график линейного уравнения \( ax + by = c \) представляет собой прямую линию, и каждая точка на этой прямой соответствует одному решению уравнения. Таким образом, решение уравнения с двумя переменными — это не просто число, а пара чисел, которая удовлетворяет условию равенства.

2) Да, можно определить количество решений системы линейных уравнений без её решения, анализируя коэффициенты при переменных и свободные члены. Для системы двух линейных уравнений вида \( a_1 x + b_1 y = c_1 \) и \( a_2 x + b_2 y = c_2 \) необходимо вычислить отношения коэффициентов. Если \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \), то система имеет ровно одно решение, так как графики уравнений (две прямые) пересекаются в одной точке. Это условие означает, что прямые не параллельны и не совпадают.

Если же выполняется условие \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \), то система имеет бесконечно много решений. В этом случае оба уравнения описывают одну и ту же прямую, то есть они линейно зависимы. Каждая точка на этой прямой является решением системы. Наконец, если \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \), то система не имеет решений, поскольку прямые параллельны и никогда не пересекаются. Это означает, что уравнения противоречивы: левые части пропорциональны, а правые — нет.

Такой анализ позволяет быстро определить тип системы без выполнения вычислений. Например, для системы \( 2x + 3y = 5 \) и \( 4x + 6y = 10 \) имеем \( \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \), поэтому система имеет бесконечно много решений. А для системы \( 2x + 3y = 5 \) и \( 4x + 6y = 11 \) имеем \( \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \neq \frac{5}{11} \), поэтому система не имеет решений.

3) Существует несколько основных способов решения систем уравнений, каждый из которых имеет свои преимущества и применяется в зависимости от конкретной ситуации. Метод подстановки заключается в том, что из одного уравнения системы выражают одну переменную через другую, а затем подставляют полученное выражение в другое уравнение. Например, в системе \( x + y = 5 \) и \( 2x — y = 4 \) из первого уравнения выражаем \( y = 5 — x \), подставляем во второе: \( 2x — (5 — x) = 4 \), откуда \( 3x = 9 \) и \( x = 3 \). Затем находим \( y = 5 — 3 = 2 \). Этот метод особенно удобен, когда одна из переменных уже выражена или легко выражается.

Метод сложения (вычитания) основан на том, что уравнения системы складывают или вычитают так, чтобы исключить одну из переменных. Для этого часто требуется предварительно умножить одно или оба уравнения на подходящие коэффициенты. Например, в той же системе \( x + y = 5 \) и \( 2x — y = 4 \) можно сложить оба уравнения: \( (x + y) + (2x — y) = 5 + 4 \), получив \( 3x = 9 \) и \( x = 3 \). После этого подставляем найденное значение в любое из исходных уравнений для нахождения второй переменной. Этот метод часто более эффективен, чем подстановка, особенно для систем с большим числом переменных.

Графический метод заключается в построении графиков обоих уравнений на одной координатной плоскости и нахождении координат точек их пересечения. Для системы \( y = x + 1 \) и \( y = -2x + 4 \) строят две прямые и находят точку их пересечения, координаты которой и являются решением. Этот метод наглядно показывает количество решений и их характер, но менее точен при вычислениях вручную, так как зависит от точности построения графиков.

Метод определителей (метод Крамера) применяется для решения систем линейных уравнений и использует определители матриц коэффициентов. Для системы \( a_1 x + b_1 y = c_1 \) и \( a_2 x + b_2 y = c_2 \) вычисляют главный определитель \( \Delta = a_1 b_2 — a_2 b_1 \), а затем определители \( \Delta_x = c_1 b_2 — c_2 b_1 \) и \( \Delta_y = a_1 c_2 — a_2 c_1 \). Решение находится по формулам \( x = \frac{\Delta_x}{\Delta} \) и \( y = \frac{\Delta_y}{\Delta} \), при условии что \( \Delta \neq 0 \). Этот метод универсален и особенно полезен для систем с большим числом уравнений и переменных, так как легко программируется и позволяет автоматизировать вычисления.