Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Контрольные вопросы и задания Параграф 2 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
1. Сформулируйте правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.
2. Сформулируйте правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
3. Как выполняют сложение и вычитание дробей с разными знаменателями? Поясните свой ответ на примерах:
а) \(\frac{a+2}{a^2 — ab} + \frac{b-2}{b^2 — ab}\);
б) \(\frac{8}{a^2 — 16} — \frac{4}{a^2 — 4a}\).
1. Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить числители, а знаменатель оставить тем же.
2. Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.
3. а) Найдём общий знаменатель дробей и выполним действие с общим знаменателем:
\(\frac{a+2}{a^2 — ab} + \frac{b-2}{b^2 — ab} = \frac{a+2}{a(a-b)} + \frac{b-2}{b(b-a)} = \frac{a+2}{a(a-b)} — \frac{b-2}{b(a-b)} = \frac{b(a+2) — a(b-2)}{ab(a-b)} =\) \(= \frac{ba + 2b — ab + 2a}{ab(a-b)} = \frac{2a + 2b}{ab(a-b)} = \frac{2(a+b)}{ab(a-b)}\)
б) Найдём общий знаменатель и выполним вычитание:
\(\frac{8}{a^2 — 16} — \frac{4}{a^2 — 4a} = \frac{8}{(a-4)(a+4)} — \frac{4}{a(a-4)} = \frac{8a}{a(a-4)(a+4)} — \frac{4(a+4)}{a(a-4)(a+4)} =\) \(= \frac{8a — 4(a+4)}{a(a-4)(a+4)} = \frac{8a — 4a — 16}{a(a-4)(a+4)} = \frac{4a — 16}{a(a-4)(a+4)} = \frac{4(a-4)}{a(a-4)(a+4)} = \frac{4}{a(a+4)}\)
1. Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо сложить только их числители, при этом знаменатель остается без изменений. Это связано с тем, что одинаковый знаменатель означает, что дроби уже выражены в одинаковых долях, поэтому складывать нужно именно части, которые обозначены в числителях. Например, если у нас есть дроби \(\frac{m}{n}\) и \(\frac{p}{n}\), то сумма будет \(\frac{m+p}{n}\). Таким образом, знаменатель \(n\) сохраняется, а числители \(m\) и \(p\) складываются.
2. Аналогично происходит и при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями. Для того чтобы выполнить вычитание, из числителя первой дроби вычитается числитель второй, а знаменатель остается прежним. Это связано с тем, что знаменатель определяет единицу измерения долей, а числитель показывает, сколько таких долей мы берем. Следовательно, если знаменатель одинаков, то вычитаются только числители. Например, для дробей \(\frac{x}{z}\) и \(\frac{y}{z}\) результат вычитания будет \(\frac{x-y}{z}\).
3. а) При сложении дробей с разными знаменателями сначала необходимо привести их к общему знаменателю, который обычно является наименьшим общим кратным знаменателей. В данном примере знаменатели \(a^2 — ab\) и \(b^2 — ab\) можно разложить на множители: \(a^2 — ab = a(a-b)\), \(b^2 — ab = b(b-a) = -b(a-b)\). Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно умножить числитель и знаменатель каждой дроби так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Первая дробь остается с знаменателем \(a(a-b)\), а вторую умножаем на \(-1\), чтобы получить знаменатель \(b(a-b)\). После этого складываем числители: \(b(a+2) — a(b-2)\). Раскрываем скобки: \(ba + 2b — ab + 2a\). Упрощаем выражение, учитывая, что \(ba = ab\), поэтому \(ba — ab = 0\), остается \(2b + 2a\). Итоговая дробь будет \(\frac{2(a+b)}{ab(a-b)}\).
б) В случае вычитания дробей с разными знаменателями нужно также найти общий знаменатель. Знаменатели \(a^2 — 16\) и \(a^2 — 4a\) раскладываем на множители: \(a^2 — 16 = (a-4)(a+4)\), \(a^2 — 4a = a(a-4)\). Общий знаменатель — произведение всех уникальных множителей: \(a(a-4)(a+4)\). Первая дробь умножается на \(a\), вторая — на \(a+4\), чтобы привести к общему знаменателю. Тогда числители становятся \(8a\) и \(4(a+4)\). Выполняем вычитание числителей: \(8a — 4(a+4) = 8a — 4a — 16 = 4a — 16\). Итоговая дробь: \(\frac{4(a-4)}{a(a-4)(a+4)}\). Сокращая на \(a-4\), получаем \(\frac{4}{a(a+4)}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!