ГДЗ по Алгебре 8 Класс Контрольные вопросы и задания Параграф 3 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

1. Сформулируйте правила умножения и деления дробей.
2. Сформулируйте правило возведения дроби в степень.
3. Какая функция называется обратной пропорциональностью?
4. В каких координатных четвертях расположен график функции \( y = \frac{k}{x} \) при \( k > 0 \)? при \( k < 0 \)?

1) Чтобы умножить дробь на дробь нужно перемножить их числители и перемножить знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем.
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

2) Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числитель, а второй – в знаменатель.

3) Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида \( y = \frac{k}{x} \), где \( x \) – переменная.

4) При \( k > 0 \) график в I и III четвертях.
При \( k < 0 \) график во II и IV четвертях.

1) Чтобы умножить одну дробь на другую, необходимо перемножить числители обеих дробей, то есть верхние части, и записать полученное произведение в числитель результата. Аналогично нужно перемножить знаменатели, то есть нижние части дробей, и записать полученное произведение в знаменатель результата. Таким образом, произведение двух дробей \( \frac{a}{b} \) и \( \frac{c}{d} \) будет равно \( \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \). Это правило основано на свойстве дробей, что произведение дробей равно дроби, числитель которой — произведение числителей, а знаменатель — произведение знаменателей.

Для деления одной дроби на другую нужно первую дробь умножить на обратную вторую дробь. Обратная дробь — это дробь, у которой числитель и знаменатель поменяны местами. Например, обратная дробь к \( \frac{c}{d} \) — это \( \frac{d}{c} \). Следовательно, деление \( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} \) можно переписать как умножение \( \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \), что по правилу умножения даёт \( \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \). Это упрощает вычисления и позволяет использовать одно и то же правило для умножения и деления дробей.

2) Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби. Например, если дана дробь \( \frac{a}{b} \) и степень \( n \), то возведение в степень записывается как \( \left(\frac{a}{b}\right)^n \). Это равносильно тому, что числитель возводится в степень \( n \) и записывается в числитель новой дроби, а знаменатель возводится в степень \( n \) и записывается в знаменатель новой дроби, то есть \( \frac{a^n}{b^n} \). Такое правило следует из определения степени и свойств умножения.

Это правило применимо для любых целых степеней, включая отрицательные. При отрицательной степени \( n = -m \), где \( m > 0 \), \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-m} = \left(\frac{b}{a}\right)^m = \frac{b^m}{a^m} \). Таким образом, возведение дроби в отрицательную степень связано с обращением дроби и возведением в положительную степень. Это расширяет возможности работы с дробями и степенями.

3) Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой \( y = \frac{k}{x} \), где \( k \) — постоянная величина, а \( x \) — переменная. Такая функция характеризуется тем, что при увеличении значения \( x \) значение \( y \) уменьшается, и наоборот, так что произведение \( x \cdot y \) остаётся постоянным и равным \( k \). Это отражает обратную зависимость между переменными.

В этой функции \( k \) называют коэффициентом пропорциональности. Если \( k > 0 \), то при положительных значениях \( x \) и \( y \) график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях, так как обе переменные имеют одинаковый знак. Если \( k < 0 \), то график находится во второй и четвёртой четвертях, где \( x \) и \( y \) имеют противоположные знаки.

4) График функции \( y = \frac{k}{x} \) при \( k > 0 \) расположен в первой и третьей координатных четвертях. Это происходит потому, что при положительном \( k \) и положительном \( x \) значение \( y \) тоже положительно, а при отрицательном \( x \) значение \( y \) отрицательно, что соответствует первой и третьей четвертям соответственно. Таким образом, кривая проходит через области, где \( x \) и \( y \) имеют одинаковый знак.

При \( k < 0 \) график функции находится во второй и четвёртой координатных четвертях. Здесь при положительном \( x \) значение \( y \) отрицательное, а при отрицательном \( x \) значение \( y \) положительное, то есть \( x \) и \( y \) имеют противоположные знаки. Это объясняет расположение графика функции в этих двух четвертях, которые соответствуют разным знакам координат.