ГДЗ по Алгебре 8 Класс Контрольные вопросы и задания Параграф 4 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

1. Какие числа образуют множество действительных чисел?
2. Какие действительные числа можно и какие нельзя представить в виде отношения целого числа к натуральному?
3. Приведите пример бесконечной десятичной дроби, которая является: а) рациональным числом; б) иррациональным числом.
4. Сформулируйте определение арифметического квадратного корня. При каких значениях \(a\) выражение \(\sqrt{a}\) имеет смысл?
5. Имеет ли уравнение \(x^2 = a\) корни при \(a > 0\), \(a = 0\), \(a < 0\), и если имеет, то сколько?
6. Какова область определения функции \(y = \sqrt{x}\)?
7. Как расположен график функции \(y = \sqrt{x}\) в координатной плоскости? Пересекает ли этот график прямую \(y = 25\); \(y = 100\); \(y = 10\,000\)?

1. 1) множество натуральных чисел (1; 2; 3; 4; …),
2) множество целых чисел (-1; -2; -3; 0),
3) множество рациональных чисел (-5,3; 0; 1; 2; (3)),
4) множество иррациональных чисел (√3; π; √(2+1)).

2. Рациональные числа — это такие числа, которые можно записать в виде \(\frac{m}{n}\) — обыкновенной дроби, где \(m\) — целое число, \(n\) — натуральное.
Иррациональные числа — которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

3. а) 0,8(3)
б) \(\pi\)

4. Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа \(a\) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\).

5. Уравнение \(x^2 = a\)
при \(a > 0\) имеет 2 корня
при \(a = 0\) имеет 1 корень
при \(a < 0\) не имеет корней

6. Область определения множества: \(x \geq 0\).

7. График \(y = \sqrt{x}\) расположен в I четверти.
График пересекает \(y = 25\); \(y = 100\); \(y = 10000\).

1. Множество действительных чисел включает несколько подмножеств, каждое из которых характеризуется своими особенностями. Во-первых, множество натуральных чисел — это числа, которые используются для счёта предметов: \(1; 2; 3; 4; \ldots\). Они положительные и не содержат дробной части. Во-вторых, множество целых чисел расширяет натуральные числа, включая ноль и отрицательные числа: \(-1; -2; -3; 0; 1; 2; \ldots\). Это важно, так как целые числа позволяют описывать ситуации с потерями или убытками, а также баланс.

Далее идут рациональные числа, которые включают все числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби \(\frac{m}{n}\), где \(m\) — целое число, а \(n\) — натуральное, то есть \(n > 0\). Примеры рациональных чисел: \(-5,3; 0; 1; 2; (3)\), где \((3)\) обозначает периодическую десятичную дробь, например \(0,333\ldots\). Наконец, множество иррациональных чисел состоит из чисел, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. К ним относятся числа, такие как \(\sqrt{3}\), \(\pi\), и выражения вида \(\sqrt{2+1}\). Эти числа имеют бесконечное непериодическое десятичное представление и важны для описания многих природных и геометрических явлений.

2. Рациональные числа — это те, которые можно записать в виде отношения двух чисел: целого \(m\) и натурального \(n\), то есть \(\frac{m}{n}\). Это означает, что рациональные числа имеют либо конечное десятичное представление, либо бесконечное периодическое. Например, число \(0,8(3)\) — это рациональное, потому что его десятичное представление периодично. С другой стороны, иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде такой дроби. Они имеют бесконечное непериодическое десятичное выражение. Примером является число \(\pi\), которое невозможно точно выразить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем.

Таким образом, рациональные числа охватывают все числа, которые можно получить делением целого на натуральное, включая целые числа и конечные дроби. Иррациональные числа выходят за эти рамки и включают в себя корни, не являющиеся точными квадратами, а также некоторые трансцендентные числа, такие как \(\pi\) и \(e\).

3. а) Пример рационального числа с бесконечной десятичной дробью — это число \(0,8(3)\), где цифра 3 повторяется бесконечно. Это число можно представить в виде дроби \(\frac{5}{6}\), так как периодическая десятичная дробь всегда выражается рациональной дробью. Такое представление доказывает, что бесконечные периодические десятичные дроби являются рациональными числами.

б) Пример иррационального числа — число \(\pi\), которое не имеет периодической десятичной записи и не может быть выражено в виде обыкновенной дроби. Десятичное представление \(\pi\) бесконечно и непериодично: \(3,1415926535\ldots\). Это свойство отличает иррациональные числа от рациональных, и именно поэтому \(\pi\) считается классическим примером иррационального числа.

4. Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа \(a\) называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). Это означает, что если \(x = \sqrt{a}\), то выполняется равенство \(x^2 = a\), при этом \(x \geq 0\). Определение ограничивает значение корня неотрицательностью, чтобы корень был единственным и однозначным.

Выражение \(\sqrt{a}\) имеет смысл только при \(a \geq 0\), так как подкоренное выражение не может быть отрицательным в действительной области. Если \(a < 0\), то квадратный корень из \(a\) не определён среди действительных чисел, поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. 5. Рассмотрим уравнение \(x^2 = a\). При \(a > 0\) уравнение имеет два корня: положительный и отрицательный, то есть \(x = \sqrt{a}\) и \(x = -\sqrt{a}\). При \(a = 0\) уравнение имеет один корень — нуль, так как \(0^2 = 0\). Если же \(a < 0\), то уравнение не имеет корней среди действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

6. Область определения функции \(y = \sqrt{x}\) — это множество всех значений \(x\), для которых выражение под корнем неотрицательно. Таким образом, область определения — это множество всех \(x\), таких что \(x \geq 0\). Для отрицательных \(x\) функция не определена в рамках действительных чисел.

7. График функции \(y = \sqrt{x}\) расположен в первой четверти координатной плоскости, так как для всех \(x \geq 0\) значения \(y\) неотрицательны. График начинается в точке \((0;0)\) и возрастает, но с замедлением роста по мере увеличения \(x\). Этот график пересекает горизонтальные прямые \(y = 25\), \(y = 100\) и \(y = 10000\) в точках, где \(x = 25^2 = 625\), \(x = 100^2 = 10000\), \(x = 10000^2 = 100000000\) соответственно, что подтверждает расположение графика и его свойства.