ГДЗ по Алгебре 8 Класс Контрольные вопросы и задания Параграф 5 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

1. Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из произведения.
2. Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из дроби.
3. Докажите тождество \(\sqrt{x^2} = |x|\).
4. Покажите на примере выражения \(\sqrt{a^{12}}\), как извлекается квадратный корень из степени с чётным показателем.

1. Теорема: Квадратный корень из произведения неотриц. множителей равен произведению квадратн. корней из этих множителей.
Док-во: для любых \(a \geq 0\) и \(b \geq 0\)
\((\sqrt{ab})^2 = a \cdot b\) и \((\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = a \cdot b\)
\(\Rightarrow \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\)

2. Теорема: квадратн. корень из дроби с неотриц. числителем и положит. знаменателем равен частному от деления квадр. корня из числителя на квадр. корень из знаменателя.
Док-во: для любых \(a \geq 0\) и \(b > 0\)
\(\left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^2 = \frac{a}{b}\) и \(\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2 = \frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)

3. Теорема: \(\sqrt{x^2} = |x|\)
Док-во: так как арифм. корень не может быть отрицательным,
то \(\sqrt{x^2} = |x|\)

4. \(\sqrt{a^{12}} = \sqrt{(a^6)^2} = |a^6| = a^6\)

1. Теорема утверждает, что квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел. Это важно, потому что позволяет упростить выражения с корнями, разделяя их на более простые множители. Для доказательства возьмём произвольные числа \(a\) и \(b\), при этом \(a \geq 0\) и \(b \geq 0\), так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Рассмотрим выражение \((\sqrt{ab})^2\). По определению квадратного корня, возведённого в квадрат, это просто \(ab\).

Далее рассмотрим произведение \((\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2\). По свойству квадратного корня это будет равно \(a \cdot b\). Поскольку обе части равны \(ab\), можно приравнять исходные корни: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\). Это равенство и есть суть теоремы. Оно позволяет упростить работу с корнями при умножении, разбивая сложное выражение на более простые части, что часто используется при решении уравнений и упрощении выражений.

Таким образом, доказательство базируется на свойствах квадратного корня и свойствах степеней, а именно на том, что возведение в квадрат и извлечение квадратного корня являются обратными операциями для неотрицательных чисел. Это условие строго обязательно, иначе равенство может не выполняться.

2. Теорема говорит, что квадратный корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от квадратного корня числителя и квадратного корня знаменателя. Это свойство позволяет упростить выражения с корнями в дробях и удобно использовать при решении алгебраических задач. Рассмотрим произвольные числа \(a \geq 0\) и \(b > 0\) для того, чтобы подкоренные выражения были корректны и знаменатель не был равен нулю.

Для доказательства возьмём выражение \(\left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^2\). По определению квадратного корня оно равно \(\frac{a}{b}\). Теперь рассмотрим выражение \(\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2\). Возводя дробь в квадрат, получаем \(\frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2} = \frac{a}{b}\). Так как обе части равны \(\frac{a}{b}\), то исходные корни равны: \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).

Это свойство часто используется для упрощения корней, особенно когда знаменатель содержит корень, что позволяет избавиться от корня в знаменателе путём деления. Оно также следует из базовых свойств степеней и корней, подтверждая, что извлечение корня из дроби эквивалентно делению корней числителя и знаменателя.

3. Теорема \(\sqrt{x^2} = |x|\) объясняет, что квадратный корень из квадрата числа равен абсолютному значению этого числа. Это связано с тем, что квадрат любого числа всегда неотрицателен, а арифметический квадратный корень по определению не может быть отрицательным. Следовательно, результат должен быть неотрицательным числом, равным по величине \(x\), но не обязательно равным самому \(x\), если \(x\) отрицательно.

Для доказательства рассмотрим, что \(\sqrt{x^2}\) — это число, которое, будучи возведённым в квадрат, даёт \(x^2\). Очевидно, что \(x\) и \(-x\) при возведении в квадрат дают одинаковый результат. Однако, поскольку квадратный корень — это неотрицательное число, то \(\sqrt{x^2}\) равно не \(x\), а его абсолютной величине \(|x|\), которая всегда неотрицательна.

Таким образом, формула учитывает возможность отрицательных значений \(x\) и корректно отражает, что извлечение квадратного корня из квадрата возвращает положительное число, равное модулю исходного числа, что важно для правильного использования в алгебраических преобразованиях и решении уравнений.

4. Рассмотрим пример \(\sqrt{a^{12}}\), где показатель степени чётный. Для извлечения квадратного корня из степени с чётным показателем можно представить степень как квадрат другой степени. В данном случае \(a^{12} = (a^6)^2\), так как \(6 \times 2 = 12\). Это позволяет применить определение квадратного корня к квадрату числа.

Таким образом, \(\sqrt{a^{12}} = \sqrt{(a^6)^2}\). По определению квадратного корня, извлечение корня из квадрата числа даёт абсолютное значение этого числа, то есть \(\sqrt{(a^6)^2} = |a^6|\). Если \(a\) — действительное число, то \(a^6\) будет неотрицательным, поскольку степень чётная, и абсолютное значение можно опустить, получая \(a^6\).

Этот приём широко используется для упрощения выражений со степенями и корнями, позволяя легко извлекать корни из степеней с чётными показателями, сводя задачу к работе с абсолютными значениями и степенями, что значительно облегчает вычисления и преобразования.