ГДЗ по Алгебре 8 Класс Контрольные вопросы и задания Параграф 6 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

1. На примере выражения \(3\sqrt{a}\) покажите, как можно внести множитель под знак корня.
2. На примере выражения \(\sqrt{8a}\) покажите, как можно вынести множитель из-под знака корня.
3. На примере выражений \(\frac{1}{\sqrt{a}}\) и \(\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\) покажите, как можно освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.

1) \(3\sqrt{a} = \sqrt{3^2 \cdot a} = \sqrt{9a}\)
2) \(\sqrt{8a} = \sqrt{4 \cdot 2a} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2a} = 2\sqrt{2a}\)
3) \(\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}; \quad \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} — \sqrt{b})} =\) \(= \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{a — b}\)

1) Для выражения \(3\sqrt{a}\) мы можем внести множитель под знак корня, чтобы представить его в виде одного радикала. Поскольку \(3 = \sqrt{3^2}\), то умножение на \(3\sqrt{a}\) эквивалентно умножению на \(\sqrt{3^2}\sqrt{a}\). По свойству корней произведение под корнем равно корню из произведения, то есть \(\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{3^2 \cdot a}\). Таким образом, \(3\sqrt{a} = \sqrt{3^2 \cdot a}\).

Это преобразование позволяет объединить множитель и подкоренное выражение в один корень, что иногда упрощает дальнейшие вычисления или упрощение выражения. В итоге получаем \(3\sqrt{a} = \sqrt{9a}\), где \(9 = 3^2\). Такой прием часто используется при работе с корнями, чтобы привести выражение к удобному виду или подготовить его к дальнейшим преобразованиям.

2) Рассмотрим выражение \(\sqrt{8a}\). Чтобы вынести множитель из-под знака корня, нужно представить число 8 в виде произведения квадратов и других множителей. Число 8 можно разложить на \(4 \cdot 2\), где 4 — это полный квадрат. По свойству корней \(\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\), следовательно, \(\sqrt{8a} = \sqrt{4 \cdot 2a} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2a}\).

Так как \(\sqrt{4} = 2\), то выражение упрощается до \(2\sqrt{2a}\). Этот способ позволяет упростить корень, вынеся из-под знака корня максимальный полный квадрат, что облегчает работу с выражением и делает его более компактным. Важно понимать, что выносить можно только те множители, которые являются полными квадратами, иначе выражение не упростится.

3) Для выражения \(\frac{1}{\sqrt{a}}\) рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{a}\). Получаем \(\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}\), так как \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a\). Это избавляет от иррациональности в знаменателе, что удобно для дальнейших вычислений и стандарт для записи дробей с корнями.

Для выражения \(\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\) рационализация знаменателя происходит иначе, поскольку знаменатель содержит сумму корней. Умножаем числитель и знаменатель на выражение \(\sqrt{a} — \sqrt{b}\), чтобы использовать формулу разности квадратов:
\[
\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} — \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{a — b}
\]
Здесь знаменатель становится рациональным, так как произведение суммы и разности корней равно разности подкоренных выражений. Это стандартный прием для избавления от корней в знаменателе сложных дробей.