ГДЗ по Алгебре 8 Класс Контрольные вопросы и задания Параграф 7 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

1. Что называют дискриминантом квадратного уравнения? Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

2. Напишите формулу корней квадратного уравнения.

3. Напишите формулу корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является чётным числом.

4. Сформулируйте и докажите теорему Виета. Чему равны сумма и произведение корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \)?

5. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Виета.

1) Дискриминантом квадратного уравнения называют величину \( D = b^2 — 4ac \).

Квадратное уравнение может иметь
2 различных корня, если \( D > 0 \);
2 равных корня, если \( D = 0 \);
не иметь корней, если \( D < 0 \).

2) \( x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), где \( D = b^2 — 4ac \).

3) \( x_1, x_2 = \frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 — ac}}{a} \), где \( D = b^2 — 4ac \).

4) Если \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \),
то справедливы формулы:
\( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \),
\( x_1 x_2 = \frac{c}{a} \).

Доказательство:
\( a x^2 + b x + c = 0 \Rightarrow a(x — x_1)(x — x_2) = 0 \Rightarrow \)
\( a(x^2 — (x_1 + x_2) x + x_1 x_2) = 0 \Rightarrow \)
\( a x^2 — a(x_1 + x_2) x + a x_1 x_2 = 0 \Rightarrow \)
сравнивая с исходным уравнением, получаем
\( -a(x_1 + x_2) = b \Rightarrow x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \),
\( a x_1 x_2 = c \Rightarrow x_1 x_2 = \frac{c}{a} \).

5) Обратная теорема Виета:
Если числа \( x_1 \) и \( x_2 \) таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения \( x^2 + b x + c = 0 \), взятому с обратным знаком, и их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями этого уравнения.

Доказательство:
Рассмотрим уравнение \( x^2 + b x + c = 0 \) и числа \( x_1, x_2 \), такие что
\( x_1 + x_2 = -b \), \( x_1 x_2 = c \).
Тогда
\( x^2 — (x_1 + x_2) x + x_1 x_2 = 0 \Rightarrow x^2 — (-b) x + c = 0 \Rightarrow \)
\( x^2 + b x + c = 0 \) (верно).
Следовательно, \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни уравнения.

1) Дискриминантом квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) называют величину \( D = b^2 — 4ac \). Эта величина позволяет определить количество и вид корней уравнения. Для этого вычисляют значение \( D \) по заданным коэффициентам \( a \), \( b \), \( c \).

Если \( D > 0 \), то квадратное уравнение имеет два различных вещественных корня, так как подкоренное выражение положительно, и корни находятся по формуле с разными знаками перед корнем. Если \( D = 0 \), то подкоренное выражение равно нулю, и уравнение имеет один корень, но с кратностью два — то есть два совпадающих корня. Если \( D < 0 \), то подкоренное выражение отрицательно, и вещественных корней у уравнения нет, то есть решений в действительных числах нет, множество корней пусто \( \emptyset \).

Таким образом, дискриминант — это ключевой показатель для определения количества корней квадратного уравнения и их природы (вещественные или комплексные).

2) Формула корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) записывается как
\( x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), где \( D = b^2 — 4ac \).

Эта формула выводится из общего уравнения методом выделения полного квадрата и позволяет найти корни уравнения при любых значениях коэффициентов \( a \), \( b \), \( c \), если только \( a \neq 0 \). Знак \( \pm \) означает, что существует два корня: один с плюсом, другой с минусом.

Если подкоренное выражение \( D \) положительно, корни вещественные и различные; если \( D = 0 \), то корни совпадают; если \( D < 0 \), корней в действительных числах нет.

3) Если второй коэффициент \( b \) является чётным числом, то формулу корней можно упростить, введя \( b = 2k \). Тогда
\( x_1, x_2 = \frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 — ac}}{a} \).

Это облегчает вычисления, так как подкоренное выражение становится \( \left(\frac{b}{2}\right)^2 — ac \), что проще для вычисления и запоминания.

Таким образом, при чётном \( b \) формула принимает вид
\( x_1, x_2 = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 — ac}}{a} \), что экономит время при решении.

4) Если \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), то справедливы формулы Виета:
\( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \),
\( x_1 x_2 = \frac{c}{a} \).

Доказательство строится на разложении многочлена:
\( a x^2 + b x + c = a(x — x_1)(x — x_2) \). Раскроем скобки:
\( a(x^2 — (x_1 + x_2) x + x_1 x_2) = 0 \),
что даёт уравнение
\( a x^2 — a(x_1 + x_2) x + a x_1 x_2 = 0 \).

Сравнивая с исходным уравнением, получаем:
\( b = -a(x_1 + x_2) \Rightarrow x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \),
\( c = a x_1 x_2 \Rightarrow x_1 x_2 = \frac{c}{a} \).

Таким образом, сумма корней равна противоположному коэффициенту \( b \), делённому на \( a \), а произведение — свободному члену, делённому на \( a \).

5) Обратная теорема Виета утверждает: если числа \( x_1 \) и \( x_2 \) таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения \( x^2 + b x + c = 0 \), взятому с обратным знаком, и их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями данного уравнения.

Доказательство: рассмотрим уравнение
\( x^2 + b x + c = 0 \),
и предположим, что \( x_1 \) и \( x_2 \) — такие числа, что
\( x_1 + x_2 = -b \),
\( x_1 x_2 = c \).

Тогда подставим в многочлен:
\( x^2 — (x_1 + x_2) x + x_1 x_2 = 0 \Rightarrow x^2 — (-b) x + c = 0 \Rightarrow x^2 + b x + c = 0 \).

Это показывает, что \( x_1 \) и \( x_2 \) удовлетворяют уравнению, а значит, они являются его корнями. Аналогично доказывается, что если \( x_1 \) — корень, то \( x_2 \) тоже корень.