ГДЗ по Алгебре 8 Класс Контрольные вопросы и задания Параграф 8 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

1. Дайте определение квадратного трёхчлена. Сколько корней может иметь квадратный трёхчлен?

2. Покажите на примере выражения \(3x^2 — 12x + 32\), как можно выделить квадрат двучлена из квадратного трёхчлена.

3. Сформулируйте и докажите теорему о разложении на множители квадратного трёхчлена, имеющего корни.

\( 1.\) Квадратным трехчленом называется многочлен вида
\( ax^2 + bx + c \), где \( x \) – переменная, \( a, b \) и \( c \) – некоторые числа, причем \( a \neq 0 \).
Если \( D > 0 \), то квадратный трехчлен имеет два корня;
если \( D = 0 \), то – один корень;
если \( D < 0 \), то – корней нет.

\( 2.\) \( 3x^2 — 12x + 32 = 3 \left(x^2 — 4x + \frac{32}{3}\right) = \)
\( = 3 \left(x^2 — 4x + 4 — 4 + 10 \frac{2}{3}\right) = 3 \left( (x^2 — 4x + 4) + 6 \frac{2}{3} \right) = \)
\( = 3(x — 2)^2 + 3 \cdot 6 \frac{2}{3} = 3(x — 2)^2 + 3 \cdot \frac{20}{3} = 3(x — 2)^2 + 20. \)

\( 3.\) Если \( x_1 \) и \( x_2 \) – корни квадратного трехчлена \( ax^2 + bx + c \),
то \( ax^2 + bx + c = a(x — x_1)(x — x_2). \)

\( ax^2 + bx + c = a \left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right). \)
\( ax^2 + bx + c = 0. \)
По теореме Виета:
\( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}. \)
Тогда:
\( \frac{b}{a} = -(x_1 + x_2), \quad \frac{c}{a} = x_1 x_2. \)
Подставим:
\( x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = x^2 — (x_1 + x_2) x + x_1 x_2 = \)
\( = x(x — x_1) — x_2 (x — x_1) = (x — x_1)(x — x_2). \)
Таким образом:
\( ax^2 + bx + c = a(x — x_1)(x — x_2). \)
Что и требовалось доказать.

1. Квадратным трехчленом называется многочлен вида
\( ax^2 + bx + c \), где \( x \) — переменная, а \( a, b \) и \( c \) — некоторые числа, причем \( a \neq 0 \). Это условие важно, потому что если \( a = 0 \), то выражение перестает быть квадратным трехчленом и превращается в линейное уравнение или константу. Квадратный трехчлен — это полином второй степени, который задает параболу при графическом изображении.

Дискриминант \( D = b^2 — 4ac \) помогает определить количество корней квадратного трехчлена. Если \( D > 0 \), парабола пересекает ось \( x \) в двух точках, значит у уравнения два различных корня. Если \( D = 0 \), касательная касается оси \( x \) в одной точке, и уравнение имеет один корень, кратности два. Если \( D < 0 \), парабола не пересекает ось \( x \), корней нет в множестве действительных чисел.

Таким образом, знак дискриминанта определяет число и тип корней у квадратного трехчлена, что является одним из ключевых свойств при решении квадратных уравнений и анализе их графиков.

2. Рассмотрим пример:
\( 3x^2 — 12x + 32 = 3 \left(x^2 — 4x + \frac{32}{3}\right) = \)
\( = 3 \left(x^2 — 4x + 4 — 4 + 10 \frac{2}{3}\right) = 3 \left((x^2 — 4x + 4) + 6 \frac{2}{3}\right) = \)
\( = 3(x — 2)^2 + 3 \cdot 6 \frac{2}{3} = 3(x — 2)^2 + 3 \cdot \frac{20}{3} = 3(x — 2)^2 + 20. \)

Здесь мы выделили полный квадрат \( (x — 2)^2 \) из выражения \( x^2 — 4x + \frac{32}{3} \), добавив и вычтя \( 4 \) (то есть \( 2^2 \)), чтобы преобразовать часть многочлена в квадрат бинома. Это метод выделения полного квадрата, который упрощает анализ выражения и позволяет легко видеть минимальное значение параболы и её сдвиг по оси \( x \).

Далее, домножив на коэффициент 3, мы получили выражение в виде суммы квадрата и константы. Это показывает, что \( 3x^2 — 12x + 32 \) можно представить как \( 3(x — 2)^2 + 20 \), что полезно для решения уравнений и исследования графика.

3. Если \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни квадратного трехчлена \( ax^2 + bx + c \), то этот многочлен можно разложить на множители:
\( ax^2 + bx + c = a(x — x_1)(x — x_2). \)

Для доказательства этого воспользуемся теоремой Виета, которая гласит, что сумма корней равна \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \), а произведение корней — \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} \). Подставим эти значения в выражение:
\( ax^2 + bx + c = a \left( x^2 — (x_1 + x_2) x + x_1 x_2 \right) = a \left( x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} \right). \)

Раскроем скобки:
\( x^2 — (x_1 + x_2) x + x_1 x_2 = x^2 — \left(-\frac{b}{a}\right) x + \frac{c}{a} = x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}. \)

Преобразуем выражение:
\( x^2 — (x_1 + x_2) x + x_1 x_2 = x(x — x_1) — x_2(x — x_1) = (x — x_1)(x — x_2). \)

Таким образом, исходный квадратный трехчлен равен \( a(x — x_1)(x — x_2) \), что и требовалось доказать. Это разложение помогает находить корни уравнения и упрощает работу с квадратными выражениями.