ГДЗ по Алгебре 8 Класс Контрольные вопросы и задания Параграф 9 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

1. Приведите пример целого уравнения и пример дробного рационального уравнения.

2. На примере уравнения \( \frac{6}{x^2-1} — \frac{1}{x-1} = \frac{2}{x+1} — \frac{3}{2} \) объясните, как решают дробные рациональные уравнения.

1) Целое уравнение: \( x^2 — 3x + 2 = 0 \)

Дробно-рациональное уравнение: \( \frac{6}{x^2-1} — \frac{1}{x-1} = \frac{2}{x+1} — \frac{3}{2} \)

2) Решение уравнения \( \frac{6}{x^2-1} — \frac{1}{x-1} = \frac{2}{x+1} — \frac{3}{2} \):

Находим общий знаменатель дробей. Заметим, что \( x^2 — 1 = (x-1)(x+1) \), поэтому общий знаменатель: \( 2(x-1)(x+1) \)

Область определения: \( x \neq 1; x \neq -1 \)

Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель \( 2(x-1)(x+1) \):

\( 6 \cdot 2 — 1 \cdot 2(x+1) = 2 \cdot 2(x-1) — 3(x-1)(x+1) \)

\( 12 — 2(x+1) = 4(x-1) — 3(x^2-1) \)

\( 12 — 2x — 2 = 4x — 4 — 3x^2 + 3 \)

\( 10 — 2x = 4x — 1 — 3x^2 \)

\( 3x^2 — 6x + 11 = 0 \)

Решаем полученное целое уравнение. Дискриминант: \( D = 36 — 132 = -96 < 0 \) Уравнение не имеет действительных корней. Ответ: \( \emptyset \)

1) Целое уравнение — это уравнение, в котором переменная не содержится в знаменателе дроби. Пример целого уравнения: \( x^2 — 3x + 2 = 0 \). В этом уравнении переменная \( x \) стоит в числителе или просто как коэффициент, но никогда не находится в знаменателе. Такие уравнения решаются стандартными методами: разложением на множители, через дискриминант или другими алгебраическими способами. Целые уравнения определены для всех значений переменной из множества действительных чисел, поэтому не требуют проверки области определения после решения.

Дробно-рациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная содержится в знаменателе хотя бы одной дроби. Пример дробно-рационального уравнения: \( \frac{6}{x^2-1} — \frac{1}{x-1} = \frac{2}{x+1} — \frac{3}{2} \). В этом уравнении переменная \( x \) находится в знаменателях дробей, что требует особого внимания при решении. Дробно-рациональные уравнения имеют ограничения на область определения: знаменатели не могут равняться нулю. Поэтому при решении таких уравнений необходимо сначала найти область допустимых значений, а затем проверить полученные корни на соответствие этой области.

2) Решение уравнения \( \frac{6}{x^2-1} — \frac{1}{x-1} = \frac{2}{x+1} — \frac{3}{2} \) требует последовательного выполнения нескольких шагов. Первый шаг — определение области допустимых значений. Знаменатели содержат выражения \( x^2 — 1 \), \( x — 1 \) и \( x + 1 \). Заметим, что \( x^2 — 1 = (x-1)(x+1) \), поэтому знаменатели обращаются в ноль при \( x = 1 \) и \( x = -1 \). Следовательно, область определения: \( x \neq 1 \) и \( x \neq -1 \).

Второй шаг — приведение уравнения к общему знаменателю. Общий знаменатель для всех дробей будет \( 2(x-1)(x+1) = 2(x^2-1) \). Переписываем каждую дробь с этим знаменателем. Дробь \( \frac{6}{x^2-1} \) становится \( \frac{6 \cdot 2}{2(x^2-1)} = \frac{12}{2(x^2-1)} \). Дробь \( \frac{1}{x-1} \) становится \( \frac{1 \cdot 2(x+1)}{2(x-1)(x+1)} = \frac{2(x+1)}{2(x^2-1)} \). Дробь \( \frac{2}{x+1} \) становится \( \frac{2 \cdot 2(x-1)}{2(x-1)(x+1)} = \frac{4(x-1)}{2(x^2-1)} \). Дробь \( \frac{3}{2} \) становится \( \frac{3(x^2-1)}{2(x^2-1)} \).

Третий шаг — умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель \( 2(x^2-1) \). После умножения получаем: \( 12 — 2(x+1) = 4(x-1) — 3(x^2-1) \). Раскрываем скобки в левой части: \( 12 — 2x — 2 = 10 — 2x \). Раскрываем скобки в правой части: \( 4x — 4 — 3x^2 + 3 = -3x^2 + 4x — 1 \). Получаем уравнение: \( 10 — 2x = -3x^2 + 4x — 1 \).

Четвёртый шаг — приведение полученного целого уравнения к стандартному виду. Переносим все члены в левую часть: \( 10 — 2x + 3x^2 — 4x + 1 = 0 \). Приводим подобные члены: \( 3x^2 — 6x + 11 = 0 \). Это квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант. Вычисляем дискриминант: \( D = b^2 — 4ac = (-6)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 11 = 36 — 132 = -96 \). Так как дискриминант отрицательный (\( D < 0 \)), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Пятый шаг — анализ результата. Поскольку уравнение \( 3x^2 - 6x + 11 = 0 \) не имеет действительных решений, исходное дробно-рациональное уравнение также не имеет решений. Даже если бы мы получили какие-то корни, нам пришлось бы проверить, не совпадают ли они со значениями \( x = 1 \) или \( x = -1 \), которые исключены из области определения. Однако в данном случае этот этап не требуется, так как корней вообще нет. Множество решений уравнения — пустое множество: \( \emptyset \).