Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Какие из выражений \( \frac{1}{3}a^{2}b,\ (x-y)^{2}-4xy,\ \frac{m+3}{m-3},\ \frac{8}{x^{2}+y^{2}},\ \frac{a^{2}-2ab}{12},\ (c+3)^{2}+\frac{2}{c} \) являются целыми, какие — дробными?
Целые выражения: \( \frac{1}{3}a^{2}b,\ (x-y)^{2}-4xy,\ \frac{a^{2}-2ab}{12} \).
Дробные выражения: \( \frac{m+3}{m-3},\ \frac{8}{x^{2}+y^{2}},\ (c+3)^{2}+\frac{2}{c} \).
Целые выражения не содержат деления на выражение с переменными; дробные содержат, например \( \frac{m+3}{m-3} \) и \( \frac{2}{c} \).
\( \frac{1}{3}a^{2}b \).
Здесь нет деления на выражение с переменными: коэффициент \( \frac{1}{3} \) — это просто число, а переменные \( a \) и \( b \) находятся только в произведении и степенях. Такое выражение является многочленом (целым выражением), потому что его можно рассматривать как произведение числа и одночлена \( a^{2}b \).
Признак дробного выражения — наличие переменной (или выражения с переменными) в знаменателе. В \( \frac{1}{3}a^{2}b \) знаменатель равен \( 3 \), то есть это постоянное число, поэтому выражение остаётся целым.
\( (x-y)^{2}-4xy \).
В этом выражении используются только сложение, вычитание, умножение и возведение в квадрат, а деления нет. Это означает, что выражение целое, так как целые алгебраические выражения строятся именно из этих операций (без деления на переменные).
Можно также увидеть, что после раскрытия скобок получится многочлен: \( (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2} \), и тогда \( (x-y)^{2}-4xy=x^{2}-6xy+y^{2} \). Многочлен по определению является целым выражением.
\( \frac{m+3}{m-3} \).
Здесь присутствует дробь, и в знаменателе стоит выражение с переменной \( m-3 \). Это главный признак дробного алгебраического выражения: деление выполняется на выражение, содержащее переменную.
Даже если числитель и знаменатель являются многочленами, сам факт, что переменная находится в знаменателе, делает выражение дробным. Дополнительно важно помнить ограничение: знаменатель не должен равняться нулю, то есть \( m \ne 3 \), но для классификации (целое или дробное) достаточно того, что в знаменателе есть \( m \).
\( \frac{8}{x^{2}+y^{2}} \).
Это дробь, и в знаменателе находится выражение \( x^{2}+y^{2} \), содержащее переменные \( x \) и \( y \). Следовательно, выражение является дробным, потому что выполняется деление на выражение с переменными.
Числитель \( 8 \) — просто число, но это не меняет классификацию: решающим является именно знаменатель. Также здесь возникает область допустимых значений: \( x^{2}+y^{2} \ne 0 \) (иначе деление невозможно), что ещё раз подчёркивает, что выражение дробное.
\( \frac{a^{2}-2ab}{12} \).
Здесь есть дробная запись, но знаменатель равен \( 12 \), то есть это постоянное число, не содержащее переменных. Деления на выражение с переменными нет, поэтому выражение относится к целым (по сути это многочлен с рациональными коэффициентами).
То же самое можно увидеть иначе: \( \frac{a^{2}-2ab}{12}=\frac{1}{12}a^{2}-\frac{2}{12}ab=\frac{1}{12}a^{2}-\frac{1}{6}ab \). Получилось выражение, где переменные не стоят в знаменателе, а коэффициенты — числа, значит выражение целое.
\( (c+3)^{2}+\frac{2}{c} \).
Первая часть \( (c+3)^{2} \) является целым выражением, потому что содержит только сложение и возведение в квадрат. Однако во второй части есть дробь \( \frac{2}{c} \), и в знаменателе стоит переменная \( c \).
Из-за слагаемого \( \frac{2}{c} \) всё выражение становится дробным: достаточно, чтобы хотя бы в одном месте было деление на переменную или выражение с переменными. Кроме того, появляется ограничение \( c \ne 0 \), что также характерно для дробных выражений.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!