ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Какие из выражений \( \frac{1}{3}a^{2}b,\ (x-y)^{2}-4xy,\ \frac{m+3}{m-3},\ \frac{8}{x^{2}+y^{2}},\ \frac{a^{2}-2ab}{12},\ (c+3)^{2}+\frac{2}{c} \) являются целыми, какие — дробными?

Целые выражения: \( \frac{1}{3}a^{2}b,\ (x-y)^{2}-4xy,\ \frac{a^{2}-2ab}{12} \).

Дробные выражения: \( \frac{m+3}{m-3},\ \frac{8}{x^{2}+y^{2}},\ (c+3)^{2}+\frac{2}{c} \).

Целые выражения не содержат деления на выражение с переменными; дробные содержат, например \( \frac{m+3}{m-3} \) и \( \frac{2}{c} \).

\( \frac{1}{3}a^{2}b \).

Здесь нет деления на выражение с переменными: коэффициент \( \frac{1}{3} \) — это просто число, а переменные \( a \) и \( b \) находятся только в произведении и степенях. Такое выражение является многочленом (целым выражением), потому что его можно рассматривать как произведение числа и одночлена \( a^{2}b \).

Признак дробного выражения — наличие переменной (или выражения с переменными) в знаменателе. В \( \frac{1}{3}a^{2}b \) знаменатель равен \( 3 \), то есть это постоянное число, поэтому выражение остаётся целым.

\( (x-y)^{2}-4xy \).

В этом выражении используются только сложение, вычитание, умножение и возведение в квадрат, а деления нет. Это означает, что выражение целое, так как целые алгебраические выражения строятся именно из этих операций (без деления на переменные).

Можно также увидеть, что после раскрытия скобок получится многочлен: \( (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2} \), и тогда \( (x-y)^{2}-4xy=x^{2}-6xy+y^{2} \). Многочлен по определению является целым выражением.

\( \frac{m+3}{m-3} \).

Здесь присутствует дробь, и в знаменателе стоит выражение с переменной \( m-3 \). Это главный признак дробного алгебраического выражения: деление выполняется на выражение, содержащее переменную.

Даже если числитель и знаменатель являются многочленами, сам факт, что переменная находится в знаменателе, делает выражение дробным. Дополнительно важно помнить ограничение: знаменатель не должен равняться нулю, то есть \( m \ne 3 \), но для классификации (целое или дробное) достаточно того, что в знаменателе есть \( m \).

\( \frac{8}{x^{2}+y^{2}} \).

Это дробь, и в знаменателе находится выражение \( x^{2}+y^{2} \), содержащее переменные \( x \) и \( y \). Следовательно, выражение является дробным, потому что выполняется деление на выражение с переменными.

Числитель \( 8 \) — просто число, но это не меняет классификацию: решающим является именно знаменатель. Также здесь возникает область допустимых значений: \( x^{2}+y^{2} \ne 0 \) (иначе деление невозможно), что ещё раз подчёркивает, что выражение дробное.

\( \frac{a^{2}-2ab}{12} \).

Здесь есть дробная запись, но знаменатель равен \( 12 \), то есть это постоянное число, не содержащее переменных. Деления на выражение с переменными нет, поэтому выражение относится к целым (по сути это многочлен с рациональными коэффициентами).

То же самое можно увидеть иначе: \( \frac{a^{2}-2ab}{12}=\frac{1}{12}a^{2}-\frac{2}{12}ab=\frac{1}{12}a^{2}-\frac{1}{6}ab \). Получилось выражение, где переменные не стоят в знаменателе, а коэффициенты — числа, значит выражение целое.

\( (c+3)^{2}+\frac{2}{c} \).

Первая часть \( (c+3)^{2} \) является целым выражением, потому что содержит только сложение и возведение в квадрат. Однако во второй части есть дробь \( \frac{2}{c} \), и в знаменателе стоит переменная \( c \).

Из-за слагаемого \( \frac{2}{c} \) всё выражение становится дробным: достаточно, чтобы хотя бы в одном месте было деление на переменную или выражение с переменными. Кроме того, появляется ограничение \( c \ne 0 \), что также характерно для дробных выражений.