ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 10 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каких значениях переменной имеет смысл рациональное выражение:
а) \(\frac{x}{x-2}\);
б) \(\frac{b+4}{b^2 + 7}\);
в) \(\frac{y^2 — 1}{y} + \frac{y}{y-3}\);
г) \(\frac{a+10}{a(a-1)} — 1\)?

а) \(\frac{x}{x-2}, \quad x-2 \neq 0, \quad x \neq 2.\)

б) \(\frac{b+4}{b^2+7}, \quad b — \text{любое число}.\)

в) \(\frac{y^2 — 1}{y} + \frac{y}{y-3}, \quad y \neq 0 \quad \text{и} \quad y-3 \neq 0, \quad y \neq 3.\)

г) \(\frac{a+10}{a(a-1)} — 1, \quad a(a-1) \neq 0, \quad a \neq 0 \quad \text{и} \quad a-1 \neq 0, \quad a \neq 1.\)

а) Рассмотрим выражение \( \frac{x}{x-2} \). Здесь знаменатель — это \( x-2 \), и чтобы выражение имело смысл, знаменатель не должен равняться нулю, потому что деление на ноль не определено. Значит, необходимо найти все значения \( x \), при которых \( x-2 \neq 0 \). Решая неравенство, получаем \( x \neq 2 \). Это условие исключает из области определения значение \( x=2 \), при котором знаменатель обращается в ноль. Таким образом, область определения выражения — все числа, кроме \( 2 \).

б) В выражении \( \frac{b+4}{b^2+7} \) знаменатель равен \( b^2+7 \). Поскольку \( b^2 \geq 0 \) для любого вещественного числа \( b \), а 7 — положительное число, сумма \( b^2 + 7 \) всегда больше нуля. Следовательно, знаменатель никогда не равен нулю, и нет ограничений на \( b \). Значит, \( b \) может принимать любое значение из множества всех вещественных чисел. Область определения для этого выражения — все \( b \in \mathbb{R} \).

в) Рассмотрим сумму двух дробей \( \frac{y^2 — 1}{y} + \frac{y}{y-3} \). Здесь два знаменателя: \( y \) и \( y-3 \). Чтобы выражение было определено, оба знаменателя не должны быть равны нулю. Следовательно, \( y \neq 0 \), так как при \( y=0 \) первая дробь не определена, и \( y — 3 \neq 0 \), то есть \( y \neq 3 \), так как при \( y=3 \) вторая дробь становится неопределённой. Таким образом, область определения — все значения \( y \), кроме \( 0 \) и \( 3 \).

г) В выражении \( \frac{a+10}{a(a-1)} — 1 \) знаменатель дроби равен \( a(a-1) \). Чтобы дробь была определена, необходимо, чтобы \( a(a-1) \neq 0 \). Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: либо \( a=0 \), либо \( a-1=0 \), то есть \( a=1 \). Следовательно, \( a \neq 0 \) и \( a \neq 1 \). Эти условия исключают из области определения числа 0 и 1, при которых знаменатель обращается в ноль. Область определения — все \( a \), кроме 0 и 1.