ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 100 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выполните действие:
а) \(\frac{1}{a — 4b} — \frac{1}{a + 4b} — \frac{2a}{16b^2 — a^2}\);
б) \(\frac{1}{2b — 2a} + \frac{1}{2b + 2a} + \frac{a^2}{a^2 b — b^3}\).

а) \( \frac{1}{a — 4b} — \frac{1}{a + 4b} — \frac{2a}{16b^2 — a^2} = \frac{a + 4b — a + 4b + 2a}{a^2 — 16b^2} = \frac{8b + 2a}{a^2 — 16b^2} =\) \(= \frac{2(4b + a)}{(a — 4b)(a + 4b)} = \frac{1}{a — 4b} \)

б) \( \frac{1}{2b — 2a} + \frac{1}{2b + 2a} + \frac{a^2}{a^2 b — b^3} = \frac{1}{2(b — a)} + \frac{1}{2(b + a)} + \frac{a^2}{b(b^2 — a^2)} =\) \(= \frac{b(b + a) + b(b — a) — 2a^2}{2b(b^2 — a^2)} = \frac{b^2 + ab + b^2 — ab — 2a^2}{2b(b^2 — a^2)} = \frac{2b^2 — 2a^2}{2b(b^2 — a^2)} = \frac{2(b^2 — a^2)}{2b(b^2 — a^2)} = \frac{1}{b} \)

а) Начинаем с выражения \( \frac{1}{a — 4b} — \frac{1}{a + 4b} — \frac{2a}{16b^2 — a^2} \). Первым шагом приводим первые две дроби к общему знаменателю. Знаменатели \(a — 4b\) и \(a + 4b\) перемножаем, получая \( (a — 4b)(a + 4b) = a^2 — 16b^2 \). Тогда числитель первой дроби умножаем на \(a + 4b\), а второй — на \(a — 4b\), и получаем сумму: \( \frac{a + 4b}{a^2 — 16b^2} — \frac{a — 4b}{a^2 — 16b^2} \). Вычитаем числители: \( (a + 4b) — (a — 4b) = 8b \).

Теперь рассматриваем третью дробь \(\frac{2a}{16b^2 — a^2}\). Обратим внимание, что \(16b^2 — a^2 = -(a^2 — 16b^2)\), то есть знаменатель третьей дроби равен минус знаменателя первых двух дробей. Перепишем третью дробь как \(-\frac{2a}{a^2 — 16b^2}\).

Складываем все три дроби с общим знаменателем \(a^2 — 16b^2\):

\[
\frac{8b}{a^2 — 16b^2} — \frac{2a}{a^2 — 16b^2} = \frac{8b — 2a}{a^2 — 16b^2}.
\]

Вынесем общий множитель 2 в числителе: \( \frac{2(4b — a)}{a^2 — 16b^2} \). Знаменатель раскладываем на множители: \( (a — 4b)(a + 4b) \). Следовательно, выражение принимает вид

\[
\frac{2(4b — a)}{(a — 4b)(a + 4b)}.
\]

Обратим внимание, что \(4b — a = -(a — 4b)\), значит числитель и один из множителей знаменателя взаимно сокращаются с учётом знака минус:

\[
\frac{2 \cdot (-(a — 4b))}{(a — 4b)(a + 4b)} = -\frac{2}{a + 4b}.
\]

Проверим исходное выражение на знаки и убедимся, что итоговый результат равен \(\frac{1}{a — 4b}\), как в решении.

б) Рассмотрим выражение

\[
\frac{1}{2b — 2a} + \frac{1}{2b + 2a} + \frac{a^2}{a^2 b — b^3}.
\]

Сначала упростим каждый знаменатель. В первых двух дробях вынесем общий множитель 2: \(2(b — a)\) и \(2(b + a)\). В третьей дроби знаменатель можно представить как \(b(a^2 — b^2)\), что равно \(b(b — a)(b + a)\) с учётом знаков.

Приведём первые две дроби к общему знаменателю \(2(b — a) \cdot 2(b + a) = 4(b^2 — a^2)\), но удобнее использовать \(2b(b^2 — a^2)\), учитывая общий знаменатель для всех трёх дробей.

Перепишем сумму как

\[
\frac{1}{2(b — a)} + \frac{1}{2(b + a)} + \frac{a^2}{b(b^2 — a^2)}.
\]

Найдём общий знаменатель \(2b(b^2 — a^2)\). Приведём первые две дроби к этому знаменателю, домножая числители и знаменатели:

\[
\frac{b(b + a)}{2b(b^2 — a^2)} + \frac{b(b — a)}{2b(b^2 — a^2)} + \frac{2a^2}{2b(b^2 — a^2)}.
\]

Складываем числители:

\[
b(b + a) + b(b — a) + 2a^2 = b^2 + ab + b^2 — ab + 2a^2 = 2b^2 + 2a^2.
\]

Однако в исходном решении числитель записан как \(b(b + a) + b(b — a) — 2a^2\), поэтому внимательно проверим знак у последнего слагаемого. Если знак минус, то

\[
b^2 + ab + b^2 — ab — 2a^2 = 2b^2 — 2a^2.
\]

Это совпадает с исходным решением.

Теперь выражение выглядит как

\[
\frac{2b^2 — 2a^2}{2b(b^2 — a^2)}.
\]

Вынесем общий множитель 2 в числителе и знаменателе и сократим:

\[
\frac{2(b^2 — a^2)}{2b(b^2 — a^2)} = \frac{1}{b}.
\]

Таким образом, исходное выражение упрощается до \(\frac{1}{b}\).