Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 101 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Докажите, что тождественно равны выражения:
а) \(\frac{3}{a^2 — 3a} + \frac{a^2}{a — 3}\) и \(a + 3 + \frac{9a + 3}{a^2 — 3a}\);
б) \(\frac{a^3}{a^2 — 4} — \frac{a}{a — 2} — \frac{2}{a + 2}\) и \(a — 1\).
а) \(\frac{3}{a^2 — 3a} + \frac{a^2}{a — 3} = a + 3 + \frac{9a + 3}{a^2 — 3a}\)
\(\frac{3}{a(a — 3)} + \frac{a^2}{a — 3} = \frac{a(a + 3)(a — 3) + 9a + 3}{a(a — 3)}\)
\(\frac{3 + a^3}{a(a — 3)} = \frac{a(a^2 — 9) + 9a + 3}{a(a — 3)}\)
\(\frac{3 + a^3}{a(a — 3)} = \frac{a^3 — 9a + 9a + 3}{a(a — 3)}\)
\(\frac{3 + a^3}{a(a — 3)} = \frac{3 + a^3}{a(a — 3)}\) — верно.
б) \(\frac{a^3}{a^2 — 4} — \frac{a}{a — 2} — \frac{2}{a + 2} = a — 1\)
\(\frac{a^3 — a(a + 2) — 2(a — 2)}{a^2 — 4} = a — 1\)
\(\frac{a^3 — a^2 — 2a — 2a + 4}{a^2 — 4} = a — 1\)
\(\frac{a^3 — a^2 — 4a + 4}{a^2 — 4} = a — 1\)
\(\frac{a^2(a — 1) — 4(a — 1)}{a^2 — 4} = a — 1\)
\(\frac{(a^2 — 4)(a — 1)}{a^2 — 4} = a — 1\)
\(a — 1 = a — 1\) — верно.
а) В этом выражении сначала приводим дроби к общему знаменателю. Заметим, что \(a^2 — 3a = a(a — 3)\), а во второй дроби знаменатель \(a — 3\). Чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю \(a(a — 3)\). Переписываем первую дробь как \(\frac{3}{a(a — 3)}\), а вторую умножаем числитель и знаменатель на \(a\), получаем \(\frac{a^2 \cdot a}{a(a — 3)} = \frac{a^3}{a(a — 3)}\). Теперь складываем числители: \(3 + a^3\).
Далее упрощаем числитель. Можно заметить, что \(a^3 + 3 = (a + 3)(a^2 — 3a + 9)\) — но в данном случае проще проверить, что исходное выражение равно правой части. Для этого раскрываем скобки в числителе правой части: \(a(a + 3)(a — 3) + 9a + 3\). Раскрывая скобки, получаем \(a(a^2 — 9) + 9a + 3 = a^3 — 9a + 9a + 3 = a^3 + 3\), что совпадает с числителем левой части. Значит дроби равны.
Таким образом, мы убедились, что \(\frac{3}{a^2 — 3a} + \frac{a^2}{a — 3} = a + 3 + \frac{9a + 3}{a^2 — 3a}\) — это верное равенство, так как обе части после приведения к общему знаменателю совпадают.
б) В этом выражении нужно упростить разность дробей \(\frac{a^3}{a^2 — 4} — \frac{a}{a — 2} — \frac{2}{a + 2}\). Первым шагом приводим все дроби к общему знаменателю, которым является \(a^2 — 4 = (a — 2)(a + 2)\).
Переписываем вторую дробь с знаменателем \(a — 2\) как \(\frac{a(a + 2)}{(a — 2)(a + 2)}\), а третью дробь с знаменателем \(a + 2\) как \(\frac{2(a — 2)}{(a + 2)(a — 2)}\). Теперь все три дроби имеют общий знаменатель \(a^2 — 4\), и можно объединить числители: \(a^3 — a(a + 2) — 2(a — 2)\).
Раскрываем скобки в числителе: \(a^3 — a^2 — 2a — 2a + 4 = a^3 — a^2 — 4a + 4\). Теперь заметим, что \(a^3 — a^2 — 4a + 4 = a^2(a — 1) — 4(a — 1)\), то есть числитель можно вынести за скобки как \((a^2 — 4)(a — 1)\).
Подставляем это обратно в дробь: \(\frac{(a^2 — 4)(a — 1)}{a^2 — 4} = a — 1\), что совпадает с правой частью уравнения. Следовательно, равенство верно.
Таким образом, все преобразования сводятся к приведению дробей к общему знаменателю, раскрытию скобок в числителе и выделению общего множителя, что позволяет упростить выражение и подтвердить правильность равенства.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!