ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 101 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что тождественно равны выражения:
а) \(\frac{3}{a^2 — 3a} + \frac{a^2}{a — 3}\) и \(a + 3 + \frac{9a + 3}{a^2 — 3a}\);
б) \(\frac{a^3}{a^2 — 4} — \frac{a}{a — 2} — \frac{2}{a + 2}\) и \(a — 1\).

а)  \(\frac{3}{a^2 — 3a} + \frac{a^2}{a — 3} = a + 3 + \frac{9a + 3}{a^2 — 3a}\)

\(\frac{3}{a(a — 3)} + \frac{a^2}{a — 3} = \frac{a(a + 3)(a — 3) + 9a + 3}{a(a — 3)}\)

\(\frac{3 + a^3}{a(a — 3)} = \frac{a(a^2 — 9) + 9a + 3}{a(a — 3)}\)

\(\frac{3 + a^3}{a(a — 3)} = \frac{a^3 — 9a + 9a + 3}{a(a — 3)}\)

\(\frac{3 + a^3}{a(a — 3)} = \frac{3 + a^3}{a(a — 3)}\) — верно.

б)  \(\frac{a^3}{a^2 — 4} — \frac{a}{a — 2} — \frac{2}{a + 2} = a — 1\)

\(\frac{a^3 — a(a + 2) — 2(a — 2)}{a^2 — 4} = a — 1\)

\(\frac{a^3 — a^2 — 2a — 2a + 4}{a^2 — 4} = a — 1\)

\(\frac{a^3 — a^2 — 4a + 4}{a^2 — 4} = a — 1\)

\(\frac{a^2(a — 1) — 4(a — 1)}{a^2 — 4} = a — 1\)

\(\frac{(a^2 — 4)(a — 1)}{a^2 — 4} = a — 1\)

\(a — 1 = a — 1\) — верно.

а) В этом выражении сначала приводим дроби к общему знаменателю. Заметим, что \(a^2 — 3a = a(a — 3)\), а во второй дроби знаменатель \(a — 3\). Чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю \(a(a — 3)\). Переписываем первую дробь как \(\frac{3}{a(a — 3)}\), а вторую умножаем числитель и знаменатель на \(a\), получаем \(\frac{a^2 \cdot a}{a(a — 3)} = \frac{a^3}{a(a — 3)}\). Теперь складываем числители: \(3 + a^3\).

Далее упрощаем числитель. Можно заметить, что \(a^3 + 3 = (a + 3)(a^2 — 3a + 9)\) — но в данном случае проще проверить, что исходное выражение равно правой части. Для этого раскрываем скобки в числителе правой части: \(a(a + 3)(a — 3) + 9a + 3\). Раскрывая скобки, получаем \(a(a^2 — 9) + 9a + 3 = a^3 — 9a + 9a + 3 = a^3 + 3\), что совпадает с числителем левой части. Значит дроби равны.

Таким образом, мы убедились, что \(\frac{3}{a^2 — 3a} + \frac{a^2}{a — 3} = a + 3 + \frac{9a + 3}{a^2 — 3a}\) — это верное равенство, так как обе части после приведения к общему знаменателю совпадают.

б) В этом выражении нужно упростить разность дробей \(\frac{a^3}{a^2 — 4} — \frac{a}{a — 2} — \frac{2}{a + 2}\). Первым шагом приводим все дроби к общему знаменателю, которым является \(a^2 — 4 = (a — 2)(a + 2)\).

Переписываем вторую дробь с знаменателем \(a — 2\) как \(\frac{a(a + 2)}{(a — 2)(a + 2)}\), а третью дробь с знаменателем \(a + 2\) как \(\frac{2(a — 2)}{(a + 2)(a — 2)}\). Теперь все три дроби имеют общий знаменатель \(a^2 — 4\), и можно объединить числители: \(a^3 — a(a + 2) — 2(a — 2)\).

Раскрываем скобки в числителе: \(a^3 — a^2 — 2a — 2a + 4 = a^3 — a^2 — 4a + 4\). Теперь заметим, что \(a^3 — a^2 — 4a + 4 = a^2(a — 1) — 4(a — 1)\), то есть числитель можно вынести за скобки как \((a^2 — 4)(a — 1)\).

Подставляем это обратно в дробь: \(\frac{(a^2 — 4)(a — 1)}{a^2 — 4} = a — 1\), что совпадает с правой частью уравнения. Следовательно, равенство верно.

Таким образом, все преобразования сводятся к приведению дробей к общему знаменателю, раскрытию скобок в числителе и выделению общего множителя, что позволяет упростить выражение и подтвердить правильность равенства.