Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 102 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
(Для работы в парах.) Докажите, что при любых допустимых значениях переменной значение выражения:
а) \(\frac{x^3 + 3x}{x + 2} — \frac{3x^2 — 14x + 16}{x^2 — 4} + 2x\) является положительным числом;
б) \(y + \frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 — 1} — \frac{y^3 + 2y}{y — 1}\) является отрицательным числом.
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования.
3) Обсудите, для чего в условии указано, что рассматриваются допустимые значения переменных. Укажите допустимые значения переменной в заданиях а) и б).
а) \( \frac{x^3 + 3x}{x + 2} — \frac{3x^2 — 14x + 16}{x^2 — 4} + 2x > 0 \)
ОДЗ: \( x^2 — 4 \neq 0, \quad x^2 \neq 4, \quad x \neq \pm 2 \).
\(\frac{(x^3 + 3x)(x — 2) — 3x^2 + 14x — 16 + 2x(x^2 — 4)}{x^2 — 4} > 0\)
\(\frac{x^4 — 2x^3 + 3x^2 — 6x — 3x^2 + 14x — 16 + 2x^3 — 8x}{x^2 — 4} > 0\)
\(\frac{x^4 — 16}{x^2 — 4} > 0\)
\(\frac{(x^2 — 4)(x^2 + 4)}{x^2 — 4} > 0\)
\(x^2 + 4 > 0\) — верно.
б) \( y + \frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 — 1} — \frac{y^3 + 2y}{y — 1} < 0 \) ОДЗ: \( y^2 - 1 \neq 0, \quad y^2 \neq 1, \quad y \neq \pm 1 \). \(\frac{y(y^2 - 1) + 2y^2 + 3y + 1 - (y^3 + 2y)(y + 1)}{y^2 - 1} < 0\) \(\frac{y^3 - y + 2y^2 + 3y + 1 - y^4 - y^3 - 2y^2 - 2y}{y^2 - 1} < 0\) \(\frac{1 - y^4}{y^2 - 1} < 0\) \(-\frac{y^4 - 1}{y^2 - 1} < 0\) \(-\frac{(y^2 - 1)(y^2 + 1)}{y^2 - 1} < 0\) \(-(y^2 + 1) < 0\) — верно.
а) Начинаем с неравенства \( \frac{x^3 + 3x}{x + 2} — \frac{3x^2 — 14x + 16}{x^2 — 4} + 2x > 0 \). Сначала определяем область допустимых значений (ОДЗ), чтобы исключить деление на ноль: \(x^2 — 4 \neq 0\), то есть \(x \neq \pm 2\). Далее приводим выражение к общему знаменателю \(x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2)\). Переписываем первое слагаемое, умножая числитель и знаменатель на \(x — 2\), чтобы получить общий знаменатель.
Далее раскрываем скобки в числителе: \((x^3 + 3x)(x — 2) = x^4 — 2x^3 + 3x^2 — 6x\). К этому прибавляем остальные части числителя: \(-3x^2 + 14x — 16 + 2x(x^2 — 4) = -3x^2 + 14x — 16 + 2x^3 — 8x\). Складываем подобные члены: \(x^4 — 2x^3 + 3x^2 — 6x — 3x^2 + 14x — 16 + 2x^3 — 8x = x^4 — 16\). Получаем неравенство \(\frac{x^4 — 16}{x^2 — 4} > 0\).
Наконец, раскладываем числитель на множители: \(x^4 — 16 = (x^2 — 4)(x^2 + 4)\). Подставляем в неравенство: \(\frac{(x^2 — 4)(x^2 + 4)}{x^2 — 4} > 0\). Сокращаем на \(x^2 — 4\) (кроме точек, где знаменатель равен нулю), остается \(x^2 + 4 > 0\), что верно для всех \(x\). Таким образом, исходное неравенство выполняется при \(x \neq \pm 2\).
б) Рассматриваем неравенство \(y + \frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 — 1} — \frac{y^3 + 2y}{y — 1} < 0\). Сначала указываем область допустимых значений: \(y^2 - 1 \neq 0\), то есть \(y \neq \pm 1\). Приводим все слагаемые к общему знаменателю \(y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)\). Переписываем первое слагаемое с общим знаменателем: \(y = \frac{y(y^2 - 1)}{y^2 - 1}\). Второе слагаемое уже с знаменателем \(y^2 - 1\), а третье умножаем числитель и знаменатель на \(y + 1\), чтобы получить общий знаменатель: \(\frac{y^3 + 2y}{y - 1} = \frac{(y^3 + 2y)(y + 1)}{y^2 - 1}\). Объединяем числители: \(y(y^2 - 1) + 2y^2 + 3y + 1 - (y^3 + 2y)(y + 1)\). Раскрываем скобки: \(y^3 - y + 2y^2 + 3y + 1 - y^4 - y^3 - 2y^2 - 2y\). Складываем подобные члены: \(1 - y^4\). Итоговое неравенство: \(\frac{1 - y^4}{y^2 - 1} < 0\). Выносим минус: \(-\frac{y^4 - 1}{y^2 - 1} < 0\). Раскладываем числитель: \(y^4 - 1 = (y^2 - 1)(y^2 + 1)\). Подставляем: \(-\frac{(y^2 - 1)(y^2 + 1)}{y^2 - 1} < 0\). Сокращаем на \(y^2 - 1\) (с учетом ОДЗ), остается \(-(y^2 + 1) < 0\). Поскольку \(y^2 + 1 > 0\) для всех \(y\), то \(-(y^2 + 1) < 0\) — неравенство верно при всех допустимых \(y\), то есть при \(y \neq \pm 1\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!