ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 103 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Учащимся была поставлена задача: «Представить дробь \(\frac{x^2 + 7x — 25}{x-5}\) в виде суммы целого выражения и дроби». Были получены ответы:
1. \(x + 5 + \frac{7x}{x-5}\)
2. \(x + 12 + \frac{35}{x-5}\)
3. \(-x + \frac{2x — 25}{x-5}\)
4. \(x + \frac{12x — 25}{x-5}\)
Укажите неверный ответ.

1. \(x + 5 + \frac{7x}{x — 5} = \frac{(x + 5)(x — 5) + 7x}{x — 5} = \frac{x^2 — 25 + 7x}{x — 5}\) — верно.

2. \(x + 12 + \frac{35}{x — 5} = \frac{(x + 12)(x — 5) + 35}{x — 5} = \frac{x^2 — 5x + 12x — 60 + 35}{x — 5} = \frac{x^2 + 7x — 25}{x — 5}\) — верно.

3. \(-x + \frac{2x — 25}{x — 5} = \frac{-x(x — 5) + 2x — 25}{x — 5} = \frac{-x^2 + 5x + 2x — 25}{x — 5} = \frac{-x^2 + 7x — 25}{x — 5}\) — неверно.

4. \(x + \frac{12x — 25}{x — 5} = \frac{x(x — 5) + 12x — 25}{x — 5} = \frac{x^2 — 5x + 12x — 25}{x — 5} = \frac{x^2 + 7x — 25}{x — 5}\) — верно.

Ответ: неверный ответ 3.

1. В первом выражении мы складываем число \(x + 5\) и дробь \(\frac{7x}{x — 5}\). Чтобы сложить их, нужно привести к общему знаменателю \(x — 5\). Для этого \(x + 5\) умножаем на \(\frac{x — 5}{x — 5}\), получаем \(\frac{(x + 5)(x — 5)}{x — 5}\). Теперь складываем числители: \((x + 5)(x — 5) + 7x\). Раскрывая скобки, получаем \(x^2 — 25 + 7x\). Итоговая дробь: \(\frac{x^2 — 25 + 7x}{x — 5}\). Таким образом, равенство верно, так как исходное выражение преобразовалось к указанной дроби.

Во втором абзаце проверяем правильность раскрытия скобок: \((x + 5)(x — 5) = x^2 — 25\), а \(+ 7x\) добавляется без изменений. Знаменатель остался неизменным. Итоговое выражение совпадает с тем, что указано в условии, значит, решение корректно.

2. Во втором выражении складываем \(x + 12\) и \(\frac{35}{x — 5}\). Аналогично первому случаю приводим к общему знаменателю \(x — 5\). Для \(x + 12\) умножаем на \(\frac{x — 5}{x — 5}\), получаем \(\frac{(x + 12)(x — 5)}{x — 5}\). Складываем числители: \((x + 12)(x — 5) + 35\). Раскрываем скобки: \(x^2 — 5x + 12x — 60 + 35 = x^2 + 7x — 25\). Итог: \(\frac{x^2 + 7x — 25}{x — 5}\). Это совпадает с ответом, значит равенство верно.

Во втором абзаце важно отметить, что при раскрытии скобок мы аккуратно складываем члены с одинаковыми переменными: \(-5x + 12x = 7x\), а также правильно складываем константы \(-60 + 35 = -25\). Это подтверждает правильность упрощения и всего выражения.

3. В третьем выражении сначала записываем \(-x + \frac{2x — 25}{x — 5}\). Чтобы сложить, приводим к общему знаменателю \(x — 5\). Записываем \(-x\) как \(\frac{-x(x — 5)}{x — 5}\). Складываем числители: \(-x(x — 5) + 2x — 25 = -x^2 + 5x + 2x — 25 = -x^2 + 7x — 25\). Итог: \(\frac{-x^2 + 7x — 25}{x — 5}\). В условии указано, что это неверно.

Во втором абзаце объясним, почему ответ неверен. Исходное выражение \(-x + \frac{2x — 25}{x — 5}\) не равно \(\frac{-x^2 + 7x — 25}{x — 5}\), так как при приведении к общему знаменателю мы должны учитывать знак и порядок действий. Если внимательно упростить, то результат будет отличаться, следовательно, данное равенство не соблюдается.

4. В четвёртом выражении складываем \(x + \frac{12x — 25}{x — 5}\). Приводим \(x\) к общему знаменателю \(x — 5\) как \(\frac{x(x — 5)}{x — 5}\). Складываем числители: \(x(x — 5) + 12x — 25 = x^2 — 5x + 12x — 25 = x^2 + 7x — 25\). Итоговая дробь: \(\frac{x^2 + 7x — 25}{x — 5}\), что совпадает с ответом и значит равенство верно.

Во втором абзаце уточним, что при раскрытии скобок важно правильно складывать члены с \(x\): \(-5x + 12x = 7x\). Константа \(-25\) остаётся без изменений. Итоговое выражение совпадает с тем, что указано в условии, подтверждая правильность решения.

Ответ: неверный ответ 3.