ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 104 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите тождество
\[
\frac{1}{x+n} — \frac{1}{x+n+1} = \frac{1}{(x+n)(x+n+1)}
\]
Используя это тождество, упростите выражение
\[
\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)}
\]

\(\frac{1}{x+n} — \frac{1}{x+n+1} = \frac{(x+n+1)-(x+n)}{(x+n)(x+n+1)} = \frac{1}{(x+n)(x+n+1)}\) — доказано.

\(\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)} = \frac{(x+3)(x+4) + (x+1)(x+4) + (x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}\)

\(= \frac{x^2 + 4x + 3x + 12 + x^2 + 4x + x + 4 + x^2 + 2x + x + 2}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}\)

\(= \frac{3x^2 + 15x + 18}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)} = \frac{3(x^2 + 5x + 6)}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}\)

\(= \frac{3(x+3)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)} = \frac{3}{(x+1)(x+4)}\).

Решение уравнения \(x^2 + 5x + 6 = 0\):

\(D = 25 — 4 \cdot 6 = 1\),

\(x_1 = \frac{-5 — 1}{2} = -3\),

\(x_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2\),

\(x^2 + 5x + 6 = (x+3)(x+2)\).

Рассмотрим выражение \(\frac{1}{x+n} — \frac{1}{x+n+1}\). Чтобы привести его к общему знаменателю, нужно умножить каждую дробь так, чтобы у них был одинаковый знаменатель. Общим знаменателем будет произведение \((x+n)(x+n+1)\). Перепишем разность дробей в виде \(\frac{(x+n+1)}{(x+n)(x+n+1)} — \frac{(x+n)}{(x+n)(x+n+1)}\). Далее, вычитаем числители: \((x+n+1) — (x+n) = 1\). Таким образом, получаем \(\frac{1}{(x+n)(x+n+1)}\). Это доказывает равенство.

Теперь рассмотрим сумму трех дробей \(\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)}\). Для сложения дробей нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение всех уникальных множителей: \((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\). Каждую дробь домножаем так, чтобы получить этот общий знаменатель. Первая дробь умножается на \(\frac{(x+3)(x+4)}{(x+3)(x+4)}\), вторая — на \(\frac{(x+1)(x+4)}{(x+1)(x+4)}\), третья — на \(\frac{(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)}\). После приведения к общему знаменателю числители складываем: \((x+3)(x+4) + (x+1)(x+4) + (x+1)(x+2)\).

Раскроем скобки в числителе. \((x+3)(x+4) = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12\), \((x+1)(x+4) = x^2 + 4x + x + 4 = x^2 + 5x + 4\), \((x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2\). Складываем все: \(x^2 + 7x + 12 + x^2 + 5x + 4 + x^2 + 3x + 2 = 3x^2 + 15x + 18\). В итоге сумма равна \(\frac{3x^2 + 15x + 18}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}\).

В числителе можно вынести общий множитель 3: \(3(x^2 + 5x + 6)\). Заметим, что \(x^2 + 5x + 6\) раскладывается на множители \((x+3)(x+2)\). Подставим это обратно: \(\frac{3(x+3)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}\). Сократим одинаковые множители \((x+3)\) и \((x+2)\), получаем \(\frac{3}{(x+1)(x+4)}\).

Рассмотрим уравнение \(x^2 + 5x + 6 = 0\). Для решения найдем дискриминант \(D = b^2 — 4ac = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1\). Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня. Корни находятся по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставим значения: \(x_1 = \frac{-5 — 1}{2} = -3\), \(x_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2\). Значит, уравнение раскладывается как \((x+3)(x+2) = 0\).