ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 105 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Две речные пристани \(A\) и \(B\) расположены на расстоянии \(s\) км друг от друга. Между ними курсирует катер, скорость которого в стоячей воде равна \(v\) км/ч. Сколько времени \(t\) ч потребуется катеру на путь от \(A\) до \(B\) и обратно, если скорость течения реки равна 5 км/ч? Найдите \(t\) при:
а) \(s = 50\), \(v = 25\);
б) \(s = 105\), \(v = 40\).

На путь А до В и обратно катер затратит времени:

\( t = \frac{s}{v+5} + \frac{s}{v-5} \) ч.

а) при \( s = 50, v = 25 \):

\( t = \frac{50}{25+5} + \frac{50}{25-5} = \frac{50}{30} + \frac{50}{20} = \frac{5}{3} + \frac{5}{2} = \frac{5 \cdot 2 + 5 \cdot 3}{6} = \frac{10 + 15}{6} = \frac{25}{6} = 4 \frac{1}{6} =\) \(= 4 \frac{10}{60} = 4 \text{ ч } 10 \text{ мин} \).

б) при \( s = 105, v = 40 \):

\( t = \frac{105}{40+5} + \frac{105}{40-5} = \frac{105}{45} + \frac{105}{35} = \frac{7}{3} + 3 = 2 \frac{1}{3} + 3 = 5 \frac{1}{3} = 5 \frac{20}{60} = 5 \text{ ч } 20 \text{ мин} \).

Ответ: а) 4 ч 10 мин; б) 5 ч 20 мин.

На путь А до В и обратно катер затратит времени, которое складывается из времени движения по течению и против течения. Время движения по течению вычисляется как расстояние \( s \), делённое на сумму скорости катера \( v \) и скорости течения 5 км/ч, то есть \( \frac{s}{v+5} \). Аналогично, время против течения равно \( \frac{s}{v-5} \), где из скорости катера вычитается скорость течения. Общее время \( t \) равно сумме этих двух величин: \( t = \frac{s}{v+5} + \frac{s}{v-5} \).

а) При \( s = 50 \) км и скорости катера \( v = 25 \) км/ч подставляем значения в формулу: \( t = \frac{50}{25+5} + \frac{50}{25-5} \). Сначала считаем знаменатели: \( 25 + 5 = 30 \), \( 25 — 5 = 20 \). Получаем \( t = \frac{50}{30} + \frac{50}{20} \). Упрощаем дроби: \( \frac{50}{30} = \frac{5}{3} \), \( \frac{50}{20} = \frac{5}{2} \). Чтобы сложить дроби, приводим их к общему знаменателю 6: \( \frac{5}{3} = \frac{10}{6} \), \( \frac{5}{2} = \frac{15}{6} \). Складываем: \( \frac{10}{6} + \frac{15}{6} = \frac{25}{6} \). Это смешанное число \( 4 \frac{1}{6} \) часа, что равно \( 4 \) часам и \( \frac{1}{6} \) часа, или 10 минутам. Таким образом, общее время пути составляет 4 часа 10 минут.

б) При \( s = 105 \) км и скорости катера \( v = 40 \) км/ч подставляем в формулу: \( t = \frac{105}{40+5} + \frac{105}{40-5} \). Считаем знаменатели: \( 40 + 5 = 45 \), \( 40 — 5 = 35 \). Получаем \( t = \frac{105}{45} + \frac{105}{35} \). Упрощаем дроби: \( \frac{105}{45} = \frac{7}{3} \), \( \frac{105}{35} = 3 \). Складываем: \( \frac{7}{3} + 3 \). Чтобы сложить, представим целое число 3 как дробь с знаменателем 3: \( 3 = \frac{9}{3} \). Тогда сумма равна \( \frac{7}{3} + \frac{9}{3} = \frac{16}{3} \), что равно \( 5 \frac{1}{3} \) часа. Переводим дробную часть в минуты: \( \frac{1}{3} \) часа — это 20 минут. Итого, общее время пути — 5 часов 20 минут.