ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 108 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Постройте графики функций \(y = -4x + 1\) и \(y = 2x — 3\) и найдите координаты точки их пересечения. Ту же задачу решите без построения графиков. Сравните полученные ответы.

Точка пересечения: (0,6; -1,6).

\(-4x + 1 = 2x — 3\)

\(-4x — 2x = -3 — 1\)

\(-6x = -4\)

\(x = \frac{4}{6}\)

\(x = \frac{2}{3}\)

\(y = -4 \cdot \frac{2}{3} + 1 = -\frac{8}{3} + 1 = -\frac{2}{3} — 1 = -1 \frac{2}{3}\)

Ответ: \(\left(\frac{2}{3}; -1 \frac{2}{3}\right)\)

Точка пересечения двух прямых — это такая точка, в которой значения \(x\) и \(y\) удовлетворяют уравнениям обеих прямых одновременно. В данном случае у нас есть две функции: \(y = -4x + 1\) и \(y = 2x — 3\). Чтобы найти точку пересечения, приравниваем правые части уравнений, так как в точке пересечения значения \(y\) должны быть равны. Получаем уравнение \(-4x + 1 = 2x — 3\).

Далее необходимо решить это уравнение относительно \(x\). Для этого переносим все члены с переменной \(x\) в одну сторону, а свободные члены — в другую. Вычитаем \(2x\) из обеих частей уравнения и одновременно вычитаем 1 из обеих частей, получая \(-4x — 2x = -3 — 1\). Суммируем подобные члены слева: \(-6x = -4\). Теперь делим обе части уравнения на \(-6\), чтобы выразить \(x\): \(x = \frac{-4}{-6} = \frac{4}{6}\). Упрощаем дробь, деля числитель и знаменатель на 2, получаем \(x = \frac{2}{3}\).

Чтобы найти \(y\), подставляем найденное значение \(x = \frac{2}{3}\) в любое из исходных уравнений. Используем первое: \(y = -4 \cdot \frac{2}{3} + 1\). Умножаем: \(-4 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{8}{3}\). Складываем с 1, записывая 1 как \(\frac{3}{3}\), чтобы сложение было удобным: \(-\frac{8}{3} + \frac{3}{3} = -\frac{5}{3}\). Представляем результат в виде смешанного числа: \(-1 \frac{2}{3}\). Таким образом, координаты точки пересечения равны \(\left(\frac{2}{3}; -1 \frac{2}{3}\right)\).