ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 114 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) \(\frac{48x^5}{49y^4} \cdot \frac{7y^2}{16x^3}\);
б) \(\frac{18m^3}{11n^3} \cdot \frac{22n^4}{9m^2}\);
в) \(\frac{72x^4}{25y^5} \cdot \left(-\frac{2,5y^4}{27x^5}\right)\);
г) \(\frac{35ax^2}{12b^2y} \cdot \frac{8ab}{21xy}\).

а) \(\frac{48x^5}{49y^4} \cdot \frac{7y^2}{16x^3} = \frac{48 \cdot 7 \cdot x^{5-3} \cdot y^{2-4}}{49 \cdot 16} = \frac{336x^2 y^{-2}}{784} = \frac{3x^2}{7y^2}\)

б) \(\frac{18m^3}{11n^3} \cdot \frac{22n^4}{9m^2} = \frac{18 \cdot 22 \cdot m^{3-2} \cdot n^{4-3}}{11 \cdot 9} = \frac{396 m n}{99} = 4mn\)

в) \(\frac{72x^4}{25y^5} \cdot \left(- \frac{2,5 y^4}{27 x^5}\right) = — \frac{72 \cdot 2,5 \cdot x^{4-5} \cdot y^{4-5}}{25 \cdot 27} = — \frac{180 x^{-1} y^{-1}}{675} = — \frac{8}{30xy}\)

г) \(- \frac{35 a x^2}{12 b^2 y} \cdot \frac{8 a b}{21 x y} = — \frac{35 \cdot 8 \cdot a^{1+1} \cdot x^{2-1} \cdot b}{12 \cdot 21 \cdot b^2 \cdot y^{1+1}} = — \frac{280 a^2 x}{252 b y^2} = — \frac{10 a^2 x}{9 b y^2}\)

а) В этом выражении сначала умножаем числители и знаменатели дробей: числитель становится \(48 \cdot 7 \cdot x^5 \cdot y^2\), а знаменатель — \(49 \cdot 16 \cdot y^4 \cdot x^3\). При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываем или вычитаем по правилу \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) и \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\). Здесь \(x^5\) делим на \(x^3\), получаем \(x^{5-3} = x^2\), а \(y^2\) делим на \(y^4\), получаем \(y^{2-4} = y^{-2}\).

Далее считаем произведение чисел: \(48 \cdot 7 = 336\), а знаменатель \(49 \cdot 16 = 784\). Записываем дробь \( \frac{336 x^2 y^{-2}}{784} \). Чтобы упростить, делим числитель и знаменатель на их общий делитель 112: \( \frac{336}{784} = \frac{3}{7} \). Итоговое выражение становится \(\frac{3 x^2}{7 y^2}\), так как \(y^{-2} = \frac{1}{y^2}\).

б) В этом примере умножаем дроби, перемножая числители и знаменатели: числитель — \(18 m^3 \cdot 22 n^4\), знаменатель — \(11 n^3 \cdot 9 m^2\). При делении степеней с одинаковыми основаниями применяем правило \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\). Для \(m\) получаем \(m^{3-2} = m^1 = m\), для \(n\) — \(n^{4-3} = n^1 = n\).

Числовое произведение в числителе — \(18 \cdot 22 = 396\), в знаменателе — \(11 \cdot 9 = 99\). Дробь упрощается до \(\frac{396 m n}{99}\). Делим числитель и знаменатель на 99, получаем \(4 m n\).

в) Здесь умножаем две дроби, одна из которых с отрицательным знаком: \(\frac{72 x^4}{25 y^5}\) и \(- \frac{2,5 y^4}{27 x^5}\). Перемножаем числители: \(72 \cdot 2,5 = 180\), знаменатели: \(25 \cdot 27 = 675\). Для степеней \(x^{4-5} = x^{-1}\), \(y^{4-5} = y^{-1}\).

Записываем выражение: \(- \frac{180 x^{-1} y^{-1}}{675}\). Упрощаем числовую часть, делим на 45: \(\frac{180}{675} = \frac{4}{15}\). Итог: \(- \frac{4}{15 x y}\), или \(- \frac{8}{30 x y}\) после умножения числителя и знаменателя на 2.

г) В последнем примере умножаем дроби \(- \frac{35 a x^2}{12 b^2 y}\) и \(\frac{8 a b}{21 x y}\). Перемножаем числители: \(35 \cdot 8 \cdot a^{1+1} \cdot x^{2-1} \cdot b^{1}\), знаменатели: \(12 \cdot 21 \cdot b^{2} \cdot y^{1+1} \cdot y^{1}\).

Применяем правила степеней: \(a^{1+1} = a^2\), \(x^{2-1} = x^1 = x\), \(y^{1+1} = y^2\). Получаем дробь \(- \frac{280 a^2 x b}{252 b^2 y^2}\). Сокращаем \(b\) в числителе и знаменателе: \(b^{1}/b^{2} = b^{-1}\), итог: \(- \frac{280 a^2 x}{252 b y^2}\).

Упрощаем числовую часть, делим на 28: \(\frac{280}{252} = \frac{10}{9}\). Итоговое выражение: \(- \frac{10 a^2 x}{9 b y^2}\).