ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 115 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выполните умножение:
а) \(\frac{10x^2 y^2}{9a^2} \cdot \frac{27a^3}{5xy}\);
б) \(\frac{2m^3}{35a^3 b^2} \cdot \left(-\frac{7a^2 b}{6m}\right)\);
в) \(\frac{13x}{12mn^2} \cdot 4m^2 n\);
г) \(-ab \cdot \left(-\frac{11x^2}{3a^2 b^2}\right)\).

а) \(- \frac{10x^{2}y^{2}}{9a^{2}} \cdot \frac{27a^{3}}{5xy} = — \frac{10 \cdot 27 \cdot x^{2} y^{2} a^{3}}{9 \cdot 5 \cdot a^{2} x y} = — \frac{270 x^{2} y^{2} a^{3}}{45 a^{2} x y} = — 6 x y a\)

б) \(\frac{2m^{3}}{35a^{3}b^{2}} \cdot \left(- \frac{7a^{2}b}{6m}\right) = — \frac{2m^{3} \cdot 7a^{2}b}{35a^{3}b^{2} \cdot 6m} = — \frac{14 m^{3} a^{2} b}{210 a^{3} b^{2} m} = — \frac{m^{2}}{15 a b}\)

в) \(\frac{13x}{12mn^{2}} \cdot 4 m^{2} n = \frac{13x \cdot 4 m^{2} n}{12 m n^{2}} = \frac{52 x m^{2} n}{12 m n^{2}} = \frac{13 x m}{3 n}\)

г) \(- ab \cdot \left(- \frac{11 x^{2}}{3 a^{2} b^{2}}\right) = \frac{11 a b x^{2}}{3 a^{2} b^{2}} = \frac{11 x^{2}}{3 a b}\)

а) В данном выражении сначала перемножаем числители и знаменатели дробей отдельно. В числителе будет произведение \(10 x^{2} y^{2}\) и \(27 a^{3}\), а в знаменателе — \(9 a^{2}\) и \(5 x y\). Получаем дробь \(\frac{10 \cdot 27 \cdot x^{2} y^{2} a^{3}}{9 \cdot 5 \cdot a^{2} x y}\). Далее сокращаем одинаковые множители: \(x^{2}\) и \(x\) дают \(x^{2-1} = x\), \(y^{2}\) и \(y\) дают \(y^{2-1} = y\), \(a^{3}\) и \(a^{2}\) дают \(a^{3-2} = a\). Числитель и знаменатель сокращаем по числам: \(270/45 = 6\). При этом знак минус сохраняется, так как он стоит перед всей дробью. В итоге получаем \(-6 x y a\).

Здесь важно помнить, что при умножении дробей числители перемножаются между собой, знаменатели — между собой, а затем происходит сокращение степеней одинаковых переменных по правилу \(a^{m} / a^{n} = a^{m-n}\). Также важно не забывать про знак минус, который влияет на итоговый результат.

б) В данном пункте перемножаем дроби \(\frac{2 m^{3}}{35 a^{3} b^{2}}\) и \(- \frac{7 a^{2} b}{6 m}\). При умножении числители перемножаются: \(2 m^{3} \cdot (-7 a^{2} b) = -14 m^{3} a^{2} b\), знаменатели: \(35 a^{3} b^{2} \cdot 6 m = 210 a^{3} b^{2} m\). Получаем дробь \(- \frac{14 m^{3} a^{2} b}{210 a^{3} b^{2} m}\).

Теперь сокращаем одинаковые множители: \(m^{3}\) и \(m\) дают \(m^{3-1} = m^{2}\), \(a^{2}\) и \(a^{3}\) дают \(a^{2-3} = a^{-1} = \frac{1}{a}\), \(b\) и \(b^{2}\) дают \(b^{1-2} = b^{-1} = \frac{1}{b}\). Числовая часть сокращается: \(14/210 = 1/15\). В итоге получаем \(- \frac{m^{2}}{15 a b}\).

Здесь важно аккуратно работать со степенями переменных и помнить, что отрицательная степень означает обратную величину. Сокращение чисел и переменных помогает упростить выражение.

в) В этом примере перемножаем дробь \(\frac{13 x}{12 m n^{2}}\) и выражение \(4 m^{2} n\). Сначала переписываем умножение как дробь: \(\frac{13 x}{12 m n^{2}} \cdot \frac{4 m^{2} n}{1} = \frac{13 x \cdot 4 m^{2} n}{12 m n^{2}}\).

В числителе произведение \(13 \cdot 4 = 52\), а переменные перемножаются по степеням: \(x\), \(m^{2}\), \(n^{1}\). В знаменателе \(12\), \(m^{1}\), \(n^{2}\). При сокращении степеней переменных: \(m^{2} / m^{1} = m^{1} = m\), \(n^{1} / n^{2} = n^{-1} = \frac{1}{n}\). Числовая часть сокращается: \(52 / 12 = \frac{13}{3}\). В итоге получаем \(\frac{13 x m}{3 n}\).

Здесь важно правильно учитывать степени при делении и умножении переменных, а также сокращать числовые коэффициенты для упрощения результата.

г) В данном случае умножаем \(- a b\) на дробь \(- \frac{11 x^{2}}{3 a^{2} b^{2}}\). Перемножение двух отрицательных чисел даёт положительный результат, поэтому знак минус исчезает. Переписываем умножение: \(- a b \cdot \left(- \frac{11 x^{2}}{3 a^{2} b^{2}}\right) = \frac{a b \cdot 11 x^{2}}{3 a^{2} b^{2}}\).

Теперь сокращаем переменные: \(a / a^{2} = a^{-1} = \frac{1}{a}\), \(b / b^{2} = b^{-1} = \frac{1}{b}\). Числовая часть остаётся \(11 / 3\). Итоговый результат: \(\frac{11 x^{2}}{3 a b}\).

Здесь важно помнить, что при умножении отрицательных множителей знак меняется на положительный, а также аккуратно сокращать степени переменных, чтобы получить максимально упрощённое выражение.