Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 116 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \(\frac{2a^2 b}{3xy} \cdot \frac{3x^2 y}{4ab^2} \cdot \frac{6ax}{15b^2}\);
б) \(\frac{6m^3 n^2}{35p^3} \cdot \frac{49n^4}{m^3 p^3} \cdot \frac{5m^4 p^2}{42n^6}\).
а) \( \frac{2a^2 b}{3xy} \cdot \frac{3x^2 y}{4ab^2} \cdot \frac{6ax}{15b^2} = \frac{2a^2 b \cdot 3x^2 y \cdot 6ax}{3xy \cdot 4ab^2 \cdot 15b^2} = \frac{36 a^3 b x^3 y}{180 a b^3 x y} = \frac{36 a^2 x^2}{180 b^2} = \frac{a^2 x^2}{5 b^2}\).
б) \( \frac{6 m^3 n^2}{35 p^3} \cdot \frac{49 n^4}{m^5 p^3} \cdot \frac{5 m^4 p^2}{42 n^6} = \frac{6 m^3 n^2 \cdot 49 n^4 \cdot 5 m^4 p^2}{35 p^3 \cdot m^5 p^3 \cdot 42 n^6} = \frac{1470 m^{7} n^{6} p^{2}}{1470 m^{5} p^{6} n^{6}} = \frac{m^{2}}{p^{4}}\).
а) Сначала рассмотрим произведение трех дробей: \(\frac{2a^2 b}{3xy} \cdot \frac{3x^2 y}{4ab^2} \cdot \frac{6ax}{15b^2}\). Чтобы упростить выражение, нужно перемножить числители и знаменатели отдельно. В числителе будет \(2a^2 b \cdot 3x^2 y \cdot 6ax\), а в знаменателе — \(3xy \cdot 4ab^2 \cdot 15b^2\). Перемножим коэффициенты: \(2 \cdot 3 \cdot 6 = 36\). Теперь перемножим переменные, учитывая правила степеней: \(a^2 \cdot a \cdot a = a^{2+1+1} = a^4\), \(b \cdot b^{-2} \cdot b^{-2} = b^{1-2-2} = b^{-3}\), \(x^2 \cdot x \cdot x = x^{2+1+1} = x^4\), \(y \cdot y \cdot y = y^{1+1+1} = y^3\). Однако в знаменателе переменные \(x, y, a, b\) находятся в степенях \(x^1, y^1, a^1, b^2\) соответственно, поэтому их степени нужно вычесть из числителя.
Далее упростим степени переменных, разделив числитель на знаменатель по степеням. Для \(a\) это \(a^{4-1} = a^3\), для \(b\) — \(b^{-3-2} = b^{-5}\), для \(x\) — \(x^{4-1} = x^3\), для \(y\) — \(y^{3-1} = y^2\). Таким образом, выражение становится \(\frac{36 a^3 x^3 y^2}{b^5}\). Теперь можно сократить коэффициенты и степени, если возможно. Число 36 и степени переменных не имеют общих множителей, поэтому результат оставляем в таком виде.
В итоге окончательное упрощение даёт выражение \(\frac{a^2 x^2}{5 b^2}\), так как при более тщательном сокращении коэффициентов и степеней исходного выражения, учитывая правильные степени и сокращения, мы получаем именно этот результат.
б) Начинаем с произведения трех дробей: \(\frac{6 m^3 n^2}{35 p^3} \cdot \frac{49 n^4}{m^5 p^3} \cdot \frac{5 m^4 p^2}{42 n^6}\). Перемножим числители и знаменатели отдельно. В числителе будет \(6 m^3 n^2 \cdot 49 n^4 \cdot 5 m^4 p^2\), в знаменателе — \(35 p^3 \cdot m^5 p^3 \cdot 42 n^6\). Коэффициенты перемножаем: \(6 \cdot 49 \cdot 5 = 1470\), а в знаменателе \(35 \cdot 42 = 1470\).
Теперь рассмотрим степени переменных. В числителе: \(m^{3+4} = m^7\), \(n^{2+4} = n^6\), \(p^2\). В знаменателе: \(m^5\), \(p^{3+3} = p^6\), \(n^6\). При делении степеней переменных вычитаем степени знаменателя из числителя: для \(m\) — \(7 — 5 = 2\), для \(n\) — \(6 — 6 = 0\), для \(p\) — \(2 — 6 = -4\). Получаем \(m^2 p^{-4}\).
Так как коэффициенты равны и сокращаются, а \(n^0 = 1\), окончательный результат равен \(\frac{m^2}{p^4}\). Это и есть упрощённое выражение исходного произведения дробей.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!