ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 117 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Возведите в степень:
а) \(\left(\frac{x}{2y}\right)^3\);
б) \(\left(\frac{3a}{c}\right)^4\);
в) \(\left(\frac{n^2}{10m}\right)^3\);
г) \(\left(\frac{9a^3}{2b^2}\right)^2\).

а) \(\left(\frac{x}{2y}\right)^3 = \frac{x^3}{8y^3}\), так как степень распространяется на числитель и знаменатель.

б) \(\left(\frac{3a}{c}\right)^4 = \frac{81a^4}{c^4}\), так как \(3^4 = 81\), а степень применяется к каждой переменной.

в) \(\left(\frac{n^2}{10m}\right)^3 = \frac{n^6}{1000m^3}\), степени возводятся в куб отдельно.

г) \(\left(\frac{9a^3}{2b^2}\right)^2 = \frac{81a^6}{4b^4}\), квадраты применяются к числам и степеням переменных.

а) Рассмотрим выражение \(\left(\frac{x}{2y}\right)^3\). Возведение дроби в степень означает, что степень нужно применить как к числителю, так и к знаменателю отдельно. То есть числитель \(x\) возводим в третью степень, получая \(x^3\), а знаменатель \(2y\) возводим в третью степень, что даёт \(2^3 y^3 = 8y^3\). Таким образом, исходное выражение преобразуется в дробь \(\frac{x^3}{8y^3}\).

Данный процесс основан на свойстве степеней, согласно которому \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\). Это свойство позволяет упростить выражения с дробями, возводя каждую часть отдельно. В итоге мы получаем более простую и удобную для дальнейших вычислений форму.

б) В выражении \(\left(\frac{3a}{c}\right)^4\) аналогично возводим в четвёртую степень и числитель, и знаменатель. Число 3 в числителе возводим в степень 4: \(3^4 = 81\). Переменную \(a\) возводим в четвёртую степень, получая \(a^4\). В знаменателе переменную \(c\) возводим в степень 4, получая \(c^4\). Итоговое выражение принимает вид \(\frac{81a^4}{c^4}\).

Такое возведение в степень переменных и чисел по отдельности позволяет чётко видеть, как меняется степень каждой части дроби. Это упрощает дальнейшее использование результата в алгебраических преобразованиях или подстановках.

в) Для выражения \(\left(\frac{n^2}{10m}\right)^3\) возводим в третью степень числитель и знаменатель. Числитель \(n^2\) возводим в третью степень, что даёт \(n^{2 \cdot 3} = n^6\). Знаменатель состоит из произведения числа 10 и переменной \(m\), поэтому возводим в степень каждую часть: \(10^3 = 1000\), а \(m^3\) остаётся \(m^3\). В итоге получаем \(\frac{n^6}{1000m^3}\).

Это пример применения степенного закона \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\), который позволяет упростить выражения с вложенными степенями. Разделение числителя и знаменателя при возведении в степень помогает избежать ошибок и делает вычисления более наглядными.

г) В выражении \(\left(\frac{9a^3}{2b^2}\right)^2\) возводим в квадрат числитель и знаменатель. Число 9 возводим в квадрат: \(9^2 = 81\). Переменную \(a^3\) возводим в квадрат, используя правило степеней, получаем \(a^{3 \cdot 2} = a^6\). В знаменателе число 2 возводим в квадрат: \(2^2 = 4\), а переменную \(b^2\) возводим в квадрат, получая \(b^{2 \cdot 2} = b^4\). Итоговое выражение: \(\frac{81a^6}{4b^4}\).

Такой подход позволяет последовательно применять правила степеней и возведения в степень произведений, что является фундаментальной частью алгебраических преобразований. Это облегчает понимание и дальнейшее использование полученных результатов.