ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 119 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Представьте в виде дроби:
а) \(\left(\frac{5a^3}{3b^2}\right)^4\);
б) \(\left(\frac{2x^2}{3y^3}\right)^5\);
в) \(\left(-\frac{10m^2}{n^2 p}\right)^3\);
г) \(\left(-\frac{b^3 c^2}{8a^3}\right)^2\).

а) \(\left(\frac{5a^3}{3b^2}\right)^4 = \frac{5^4 a^{12}}{3^4 b^8} = \frac{625 a^{12}}{81 b^8}\)

б) \(\left(\frac{2x^2}{3y^3}\right)^5 = \frac{2^5 x^{10}}{3^5 y^{15}} = \frac{32 x^{10}}{243 y^{15}}\)

в) \(\left(-\frac{10 m^2}{n^2 p}\right)^3 = — \frac{10^3 m^6}{n^6 p^3} = — \frac{1000 m^6}{n^6 p^3}\)

г) \(\left(-\frac{b^3 c^2}{8 a^3}\right)^2 = \frac{b^6 c^4}{64 a^6}\)

а) Рассмотрим выражение \(\left(\frac{5a^3}{3b^2}\right)^4\). В первую очередь возводим в степень числитель и знаменатель дроби отдельно, поскольку степень распространяется на каждый множитель внутри скобок. Число 5 возводим в четвёртую степень: \(5^4 = 625\). Переменная \(a\) с показателем степени 3 возводится в степень 4, что даёт \(a^{3 \cdot 4} = a^{12}\). Аналогично знаменатель: число 3 возводим в четвёртую степень \(3^4 = 81\), а переменную \(b\) с показателем 2 возводим в степень 4, получая \(b^{2 \cdot 4} = b^8\).

Таким образом, итоговое выражение принимает вид \(\frac{625 a^{12}}{81 b^8}\). Здесь использован закон степеней для произведения и частного, а также правило возведения степени в степень. Это позволяет упростить исходный сложный множитель до более компактной дроби с целыми степенями.

б) Выражение \(\left(\frac{2x^2}{3y^3}\right)^5\) решается по тому же принципу. Сначала возводим числитель и знаменатель в пятую степень. Число 2 в пятой степени даёт \(2^5 = 32\). Переменная \(x\) с показателем 2 возводится в степень 5, что даёт \(x^{2 \cdot 5} = x^{10}\). В знаменателе число 3 возводим в пятую степень \(3^5 = 243\), а переменную \(y\) с показателем 3 возводим в степень 5, получая \(y^{3 \cdot 5} = y^{15}\).

В результате получаем дробь \(\frac{32 x^{10}}{243 y^{15}}\). Это пример применения формулы возведения дроби в степень, где каждая часть возводится отдельно, а показатели степеней перемножаются.

в) Для выражения \(\left(-\frac{10 m^2}{n^2 p}\right)^3\) важно учесть знак минус. Возводим в третью степень числитель и знаменатель отдельно. Число 10 в кубе даёт \(10^3 = 1000\), переменная \(m\) с показателем 2 возводится в куб, что даёт \(m^{2 \cdot 3} = m^6\). В знаменателе переменная \(n\) с показателем 2 возводится в куб, давая \(n^{2 \cdot 3} = n^6\), а переменная \(p\) без показателя степени при возведении в третью степень становится \(p^3\).

Минус возводится в нечетную степень, поэтому знак сохраняется. В итоге выражение равно \(-\frac{1000 m^6}{n^6 p^3}\).

г) Рассмотрим \(\left(-\frac{b^3 c^2}{8 a^3}\right)^2\). Возводим в квадрат числитель и знаменатель. В числителе переменная \(b\) с показателем 3 возводится в квадрат, что даёт \(b^{3 \cdot 2} = b^6\), а \(c\) с показателем 2 возводится в квадрат, давая \(c^{2 \cdot 2} = c^4\). Число 8 в квадрате даёт \(8^2 = 64\). В знаменателе переменная \(a\) с показателем 3 возводится в квадрат, что даёт \(a^{3 \cdot 2} = a^6\).

Минус возводится в четную степень, поэтому знак исчезает. Итоговое выражение равно \(\frac{b^6 c^4}{64 a^6}\). Здесь применены законы степеней и возведения отрицательного числа в степень.